今天写一篇关于最小生成树的番外篇,以前写最小生成树总是用的prim,关于kruskal只是知道一些原理,一直也没有时间去学,今天偶然看了一些并查集,才想起了这个算法
会想起刚刚(预)学过的数据结构,来解释一下它的原理:
先构造一个只含 n 个顶点、而边集为空的子图,把子图中各个顶点看成各棵树上的根结点,之后,从网的边集 E 中选取一条权值最小的边,若该条边的两个顶点分属不同的树,则将其加入子图,即把两棵树合成一棵树,反之,若该条边的两个顶点已落在同一棵树上,则不可取,而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推,直到森林中只有一棵树,也即子图中含有 n-1 条边为止。-------百度百科
通俗一点讲,给定加权无向图G(E,V),将所有边取出只留下点集,然后边按权值从小到大排序后,加入点集中对应该条边原本连接的点的关系,每加入一条边,都要检查加入这条边后是否会与之前加入的边构成环,如果成环,则该边不可取,进行下一条边的的判断,当加入n-1(图有n个顶点)条边后,最小生成树毕.
证明(摘自百度百科):
- 这样的步骤保证了选取的每条边都是桥,因此图G构成一个树。
- 为什么这一定是最小生成树呢?关键还是步骤3中对边的选取。算法中总共选取了n-1条边,每条边在选取的当时,都是连接两个不同的连通分量的权值最小的边
- 要证明这条边一定属于最小生成树,可以用反证法:如果这条边不在最小生成树中,它连接的两个连通分量最终还是要连起来的,通过其他的连法,那么另一种连法与这条边一定构成了环,而环中一定有一条权值大于这条边的边,用这条边将其替换掉,图仍旧保持连通,但总权值减小了。也就是说,如果不选取这条边,最后构成的生成树的总权值一定不会是最小的。
时间复杂度:(eloge)e为边数,这里一定要分清.
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node{
int x;
int y;
int w;
}e[200005];
int f[5055];
int n,m,total;
bool camp(node a,node b)//sort()重载函数
{
return a.w<b.w;
}
int find(int x)//并查
{
if(f[x]==x)
{
return x;
}
else
{
f[x]=find(f[x]);
return f[x];
}
}
int kruskal()
{
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u=find(e[i].x);
int v=find(e[i].y);
if(u!=v)//如果不在一个集合中
{
total+=e[i].w;
f[u]=v;
n--;
if(n==1)//加够了n-1条边
break;
}
}
return total;
}
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
f[i]=i;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y,z;
cin>>x>>y>>z;
e[i].x=x;
e[i].y=y;
e[i].w=z;
}
sort(e+1,e+m+1,camp);
kruskal();
if(n==1)
cout<<total<<endl;
else//不能构成最小生成树
cout<<"orz"<<endl;
return 0;
}