正态分布
对数正态分布（logarithmic normal distribution）是指一个随机变量的对数服从正态分布，则该随机变量服从对数正态分布。
有些量本身就是不对称的。例如，试想，人们完成某项特定任务需要的时间：因为每个人都是不同的，我们会得到一个分布。然而，所有的值都必然是正数(因为时间不可能为负数)。而且，我们还能预测到该分布可能的形状：有一个无人可及的最小时间，然后是少数一些非常快的“冠军”，接下来就是普通人的最具代表性的完成时间形成一个高峰，最后是尾部一长串的“掉队者”。显然，高斯分布不会很好地描述这样的分布，因为高斯分布中x可以定义为正值，也可定义为负值，它是对称的且尾部很短。[1] （以上引自百度百科）
如果Y是对数正态分布，则ln(Y)为正态分布，
1. 推导对数正态分布的概率密度函数：
从累积分布函数关系入手，易知
代表对数正态分布的cdf，
代表正态分布的cdf
对上式两边取导数，即可得到pdf的关系，
所以，对数正态分布函数的密度函数是：
，把y换成x：
2. 求期望：
这里使用换元法简化一下积分，令
，
那么原积分转化为
因为有
，所以
3.方差的推导：
总结，对数正态分布的期望与方差计算公式：
4.given期望值与方差，也可以用这个关系求μ与σ的大小
即，已知
,
, and
，求
5 在实际运用中，通常情况是我们通过某种方式已知或假设变量
服从对数正态分布
，通过试验获得的一组X的样本，现在想估算
和
。如果这个实验并不是我们做的，得不到
的每个具体的数据，做实验的人只是给我们一些简单的统计特征值，比如，只知道样本均值Mean(X), 样本方差Var(X), 样本中位数Median(X)，这样我们就不能用极大似然法来估计总体中的参数，但可以用矩法进行简单的估计。
如果样本的数量足够大，可以认为
，
，然后就可以用上面的公式估算
和
。
实际上如果用样本中位数估算
更方便也准确，
为什么可以用样本中位值的对数来估算
值呢，来看一下变量X中位值与
的关系：
变量X总体的中位值等于
方程的解，
而
，我们知道
，
所以方程转化为
，解为
，
即
