有哪些准确提取圆形椭圆物体的传统视觉方法 python 椭圆是怎么切出来的

(x – x₀)² / a²+ (y – y₀)² / b² = 1，其中(x₀, y₀)是圆心坐标，a和b是椭圆的长短轴，特别的，当(x₀, y₀)就是坐标中心点时，椭圆方程可以简化为x² / a² + y² / b² = 1。在计算机图形学中，椭圆图形也存在在点阵输出设备上显示或输出的问题，因此也需要一套光栅扫描转换算法。为了简化，我们先考虑圆心在原点的椭圆的生成，对于中心不是原点的椭圆，可以通过坐标的平移变换获得相应位置的椭圆。

1）所示：

图（1）椭圆的对称性

中心在原点。焦点在坐标轴上的标准椭圆具有X轴对称、Y轴对称和原点对称特性，已知椭圆上第一象限的P点坐标是(x, y)，则椭圆在另外三个象限的对称点分别是(x, -y)、(-x, y)和(-x, -y)。因此，只要画出第一象限的四分之一椭圆，就可以利用这三个对称性得到整个椭圆。

在光栅设备上输出椭圆有很多种方法，可以根据直角平面坐标方程直接求解点坐标，yekeyii利用极坐标方程求解，但是因为涉及到浮点数取整，效果都不好，一般都不使用直接求解的方式。本文就介绍几种计算机图形学中两种比较常用的椭圆生成方法：中点画椭圆算法和Bresenham椭圆生成算法。

1、 中点画椭圆法

中点在坐标原点，焦点在坐标轴上（轴对齐）的椭圆的平面集合方程是：

x2 / a2 + y2 / b2 = 1，也可以转化为如下非参数化方程形式：
F(x, y) = b2x2 + a2y2 - a2b2 = 0 （方程 1）

无论是中点画线算法、中点画圆算法还是本节要介绍的中点画椭圆算法，对选择x方向像素Δ增量还是y方向像素Δ增量都是很敏感的。举个例子，如果某段圆弧上，x方向上增量+1个像素时，y方向上的增量如果 < 1，则比较适合用中点算法，如果y方向上的增量 > 1，就会产生一些跳跃的点，最后生成的光栅位图圆弧会有一些突变的点，看起来好像不在圆弧上。因此，对于中点画圆弧算法，要区分出椭圆弧上哪段Δx增量变化显著，哪段Δy增量变化显著，然后区别对待。由于椭圆的对称性，我们只考虑第一象限的椭圆圆弧，如图（2）所示：

图（2）第一象限椭圆弧示意图

定义椭圆弧上某点的切线法向量N如下：

对方程1分别求x偏导和y偏导，最后得到椭圆弧上(x,y)点处的法向量是（2b²x, 2a²y）。dy/dx = -1的点是椭圆弧上的分界点。此点之上的部分（橙褐色部分）椭圆弧法向量的y分量比较大，即：2b²(x + 1) < 2a²(y – 0.5)；此点之下的部分（蓝紫色部分）椭圆弧法向量的x分量比较大，即：2b²(x + 1) > 2a²(y – 0.5)。

2）中橙褐色标识的上部区域，y方向每变化1个单位，x方向变化大于一个单位，因此中点算法需要沿着x方向步进画点，x每次增量加1，求y的值。同理，对于图（2）中蓝紫色标识的下部区域，中点算法沿着y方向反向步进，y每次减1，求x的值。先来讨论上部区域椭圆弧的生成，如图（3）所示：

图（3）中点画椭圆算法对上部区域处理示意图

假设当前位置是P(x_i, y_i)，则下一个可能的点就是P点右边的P1(x_i+1, y_i)点或右下方的P2(x_i+1, y_i-1)点，取舍的方法取决于判别式d_i，d_i的定义如下：

di = F(xi+1, yi-0.5) = b2(xi+1)2 + a2(yi-0.5)2 – a2b2

若d_i < 0，表示像素点P1和P2的中点在椭圆内，这时可取P1为下一个像素点。此时x_i+1 = x_i + 1，y_i+1 = y_i，代入判别式d_i得到d_i+1：

di+1 = F(xi+1+1, yi+1-0.5) = b2(xi+2)2 + a2(yi-0.5)2 – a2b2 = di + b2(2xi + 3)

计算出d_i的增量是b²(2x_i + 3)。同理，若d_i >= 0，表示像素点P1和P2的中点在椭圆外，这时应当取P2为下一个像素点。此时x_i+1 = x_i + 1，y_i+1 = y_i - 1，代入判别式d_i得到d_i+1：

di+1 = F(xi+1+1, yi+1-0.5) = b2(xi+2)2 + a2(yi-1.5)2 – a2b2 = d1 + b2(2xi+3) + a2(-2yi+2)

计算出d_i的增量是b²(2x_i+3)+a²(-2y_i+2)。计算d_i的增量的目的是减少计算量，提高算法效率，每次判断一个点时，不必完整的计算判别式d_i，只需在上一次计算出的判别式上增加一个增量即可。

4）所示：

图（4）中点画椭圆算法对下部区域处理示意图

假设当前位置是P(x_i, y_i)，则下一个可能的点就是P点左下方的P1(x_i -1, y_i-1)点或下方的P2(x_i, y_i-1)点，取舍的方法同样取决于判别式d_i，d_i的定义如下：

di = F(xi+0.5, yi-1) = b2(xi+0.5)2 + a2(yi-1)2 – a2b2

若d_i < 0，表示像素点P1和P2的中点在椭圆内，这时可取P2为下一个像素点。此时x_i+1 = x_i + 1，y_i+1 = y_i - 1，代入判别式d_i得到d_i+1：

di+1 = F(xi+1+0.5, yi+1-1) = b2(xi+1.5)2 + a2(yi-2)2 – a2b2 = di + b2(2xi+2)+a2(-2yi+3)

计算出d_i的增量是b²(2x_i+2)+a²(-2y_i+3)。同理，若d_i >= 0，表示像素点P1和P2的中点在椭圆外，这时应当取P1为下一个像素点。此时x_i+1 = x_i，y_i+1 = y_i - 1，代入判别式d_i得到d_i+1：

di+1 = F(xi+1+0.5, yi+1-1) = b2(xi+0.5)2 + a2(yi-2)2 – a2b2 = d1 + a2(-2yi+3)

计算出d_i的增量是a²(-2y_i+3)。

(0, b)点开始，第一个中点是(1, b – 0.5)，判别式d的初始值是：

d0 = F(1, b–0.5) = b2 + a2(-b+0.25)

上部区域生成算法的循环终止条件是：2b²(x + 1) >= 2a²(y – 0.5)，下部区域的循环终止条件是y = 0，至此，中点画椭圆算法就可以完整给出了：

20void MP_Ellipse(int xc , int yc , int a, int b) 21{ 22 double sqa = a * a; 23 double sqb = b * b; 24 25 double d = sqb + sqa * (-b + 0.25); 26 int x = 0; 27 int y = b; 28 EllipsePlot(xc, yc, x, y); 29 while( sqb * (x + 1) < sqa * (y - 0.5)) 30 { 31 if (d < 0) 32 { 33 d += sqb * (2 * x + 3); 34 } 35 else 36 { 37 d += (sqb * (2 * x + 3) + sqa * (-2 * y + 2)); 38 y--; 39 } 40 x++; 41 EllipsePlot(xc, yc, x, y); 42 } 43 d = (b * (x + 0.5)) * 2 + (a * (y - 1)) * 2 - (a * b) * 2; 44 while(y > 0) 45 { 46 if (d < 0) 47 { 48 d += sqb * (2 * x + 2) + sqa * (-2 * y + 3); 49 x++; 50 } 51 else 52 { 53 d += sqa * (-2 * y + 3); 54 } 55 y--; 56 EllipsePlot(xc, yc, x, y); 57 } 58}

EllipsePlot()函数利用椭圆的三个对称性，一次完成四个对称点的绘制，因为简单，此处就不再列出代码。

2、 Bresenham算法

d使用了浮点运算，影响了椭圆的生成效率。如果能将判别式规约到整数运算，则可以简化计算，提高效率。于是人们针对中点画椭圆法进行了多种改进，提出了很多种中点生成椭圆的整数型算法，Bresenham椭圆生成算法就是其中之一。

x轴为步进方向，如图（5-a）所示：

图（5）Bresenham椭圆生成算法判别式

x每步进一个单位，就需要在判断y保持不变还是也步进减1，bresenham算法定义判别式为：

D = d1 – d2

如果D < 0，则取P1为下一个点，否则，取P2为下一个点。采用判别式D，避免了中点算法因y-0.5而引入的浮点运算，使得判别式规约为全整数运算，算法效率得到了很大的提升。根据椭圆方程，可以计算出d₁和d₂分别是：

d1 = a2(yi2 – y2)
d2 = a2(y2 – yi+12)

以(0, b)作为椭圆上部区域的起点，将其代入判别式D可以得到如下递推关系：

Di+1 = Di + 2b2(2xi + 3) (Di < 0)
Di+1 = Di + 2b2(2xi + 3) – 4a2(yi - 1) (Di >= 0)
D0 = 2b2 – 2a2b + a2

在生成椭圆下部区域时，以y轴为步进方向，如图（5-b）所示，y每步进减一个单位，就需要在判断x保持不变还是步进加一个单位，对于下部区域，计算出d₁和d₂分别是：

d1 = b2(xi+12 – x2)
d2 = b2(x2 – xi2)

以(x_p, y_p)作为椭圆下部区域的起点，将其代入判别式D可以得到如下递推关系：

Di+1 = Di – 4a2(yi - 1) + 2a2 (Di < 0)
Di+1 = Di + 2b2(xi + 1) – 4a2(y - 1) + 2a2 + b2 (Di >= 0)
D0 = b2(xp + 1)2 +b2xp2 - 2a2b2 + 2a2(yp - 1)2

根据以上分析，Bresenham椭圆生成算法的实现就比较简单了：

61void Bresenham_Ellipse(int xc , int yc , int a, int b) 62{ 63 int sqa = a * a; 64 int sqb = b * b; 65 66 int x = 0; 67 int y = b; 68 int d = 2 * sqb - 2 * b * sqa + sqa; 69 EllipsePlot(xc, yc, x, y); 70 int P_x = ROUND_INT( (double)sqa/sqrt((double)(sqa+sqb)) ); 71 while(x <= P_x) 72 { 73 if(d < 0) 74 { 75 d += 2 * sqb * (2 * x + 3); 76 } 77 else 78 { 79 d += 2 * sqb * (2 * x + 3) - 4 * sqa * (y - 1); 80 y--; 81 } 82 x++; 83 EllipsePlot(xc, yc, x, y); 84 } 85 86 d = sqb * (x * x + x) + sqa * (y * y - y) - sqa * sqb; 87 while(y >= 0) 88 { 89 EllipsePlot(xc, yc, x, y); 90 y--; 91 if(d < 0) 92 { 93 x++; 94 d = d - 2 * sqa * y - sqa + 2 * sqb * x + 2 * sqb; 95 } 96 else 97 { 98 d = d - 2 * sqa * y - sqa; 99 } 100 } 101}

总结一下，本文介绍了两种计算机图形学中常见的椭圆生成算法，实际上还有很多种改进算法，包括提高效率，引入反走样技术等等，但那已经不是本文的重点，能把算法的基本原理讲清楚才是本文的目的。

参考资料：

【1】计算几何：算法设计与分析周培德 清华大学出版社 2005年

【2】计算几何：算法与应用德贝尔赫（邓俊辉译） 清华大学出版社 2005年

【3】计算机图形学孙家广、杨常贵清华大学出版社 1995年