向量v(用粗体字母表示向量）也叫矢量，是一个有大小有方向的量。长度为1的向量称为单位向量,也叫幺矢，这里记为E。长度为0的向量叫做零向量，记为0，零向量没有确定方向，换句话说，它的方向是任意的。
一、向量的基本运算
1、向量加法：a+b等于使b的始点与a的终点重合时，以a的始点为始点，以b的终点为终点的向量。
2、向量减法:a-b等于使b的始点与a的始点重合时，以b的终点为始点，以a的终点为终点的向量。
3、 数量乘向量:k*a，k>0时，等于a的长度扩大k倍；k=0时，等于0向量；k<0时，等于a的长度扩大|k|倍然后反向。
4、向量的内积（数量积、点积）: a.b=|a|*|b|*cosA 等于向量a的长度乘上b的长度再乘上a与b之间夹角的余弦。
它的几何意义就是a的长度与b在a上的投影长度的乘积，或者是b的长度与a在b上投影长的乘积，它是一个标量，而
且可正可负。因此互相垂直的向量的内积为0。
5、向量的矢积（叉积）: a x b = |a|*|b|*sinA*v = c, |a|是a的长度，|b|是b的长度，A是a和b之间的锐夹角,v是与a,b所决定的平面垂直的幺矢，即axb与a、b都垂直。a,b,c构成右手系,即右手拇指伸直，其余四指按由a到b的锐角蜷曲，此时拇指所指方向就是c的方向。因此axb!=bxa,bxa是手指朝b到a的锐角蜷曲时，拇指指向的方向，它和c相反，即-c。a x b的行列式计算公式在左右手坐标系下是不同的，如上图所示。两个向量的矢积是一个向量。
6、正交向量的内积：互相垂直的两个向量是正交的，正交向量的内积为零。a.b = |a|.|b|*cos(PI/2) = |a|.|b|*0 = 0。
二、向量的性质
没有下面的这些性质做基础，我们后面向量技巧的推导将无法进行。
1) a + b = b + a
2) (a + b) + c = a + (b + c)
3) a + 0 = 0 + a = a
4) a + (-a) = 0
5) k*(l*a) = (k*l)*a = a*(k*l)
6) k*(a + b) = k*a + k*b
7) (k + l)*a = k*a + l*a
8) 1*a = a
9) a.b = b.a
10)a.(b + c) = a.b + a.c
11)k*(a.b) = (k*a).b = a.(k*b)
12)0.a = 0
13)a.a = |a|^2
三、自由向量的代数（分量）表示
1、向量在直角坐标中的代数表示方法：
a=(x,y)
其中x,y分别是向量在x轴和y轴上的分量。任何一个在直角坐标轴上的分量为(x,y)的向量都相等。比如上图中的每个向量都表示为(-2，1)。
或者写成a=x*i+y*j，即i和j的线性组合，这里i是x轴方向的单位向量(1,0)，j是y轴方向的单位向量(0,1)，因此i正交于j。任意一个2-D向量都可以表成i与j的线性组合。
|i| = |j| = 1
2、向量的代数（分量）表示的运算：
向量加法分量表示：a+b=(xa,ya)+(xb,yb)=(xa+xb,ya+yb)
向量减法分量表示：a-b=(xa,ya)-(xb,yb)=(xa-xb,ya-yb)
向量的内积（数量积、点积）分量表示:
a.b=(xa * i + ya * j).(xb * i + yb * j)
= xa * i * xb * i + xa * i * yb * j + ya * j * xb * i + ya * j * yb * j
=(xa * xb) * (i * i) + (xa * yb) * (i * j) + (xb * ya) * (i * j) + (ya * yb) * (j * j)
= xa * xb + ya * yb
3、向量长度（模）的计算以及单位化（归一化）：
设a=(x,y),则
|a| = |(x,y)| = |x*i + y*j| = sqrt(x^2*i^2 + y^2*j^2) = sqrt(x^2 + y^2），这里sqrt是开平方符号。
a的单位向量为a/|a|，即(x,y)/sqrt(x^2 + y^2)。
