lua 大实数

数论（小部分前置芝士）

• 数论的定义：
  数论是专门研究整数的性质的数学分支，其中大部分研究的是正整数。
  数论对信息学有很大作用也是考试恶心人的利器。

• 各类定义：

• 定理：符合某些条件的语句。一般的定理需要证明。

• 公理：公认正确的连续性定理，不需要证明。

• 复数(Complex Number) ：可以表示的数，包含实数和虚数。

• 实数(Real Number) ：可以用数轴表示的数，也可以写成数字（有些实数带符号，比如符号，分数线和根号）的形式。

• 实数包含有理数和无理数。
• 任意一个实数的偶数次幂都$>0$
• 有理数(Rational Number) ：可分类成整数和分数。

• 整数(Integer) ：类似$0,-1,1,-2,2$这样的数。

• 整数是数学上的基本概念，所以没有定义。
• 整数包含正整数(Positive Integer)，负整数(Negative Integer)和 $0$

• 分数(Fraction)：即无限循环小数和有限小数的总称。分数是有理数中除了整数外的一切数。

• 分数也分为正分数(Positive Fraction)和负分数(Negative Fraction)。

• 有理数的封闭性：任意有理数作运算都得到一个有理数。

• 无理数(Quational Number) ：无限不循环小数。

• 无理数也分正负，这里就不细说。
• 无理数作加减乘除的运算，都可以得到一个多项式。
• 同类无理数之间可以加减。任意无理数之间可以乘除。

• 任意实数之间可以作运算。
• 虚数(Imagine Number) ：不能用数轴表示的数，是不切实际的。

• 任意一个虚数的平方为$-1$
• 虚数可以用复平面表示。复平面就像一个平面直角坐标系。坐标系中的x轴成为实数轴，y轴成为虚数轴（虚数系数轴）。
• 虚数可以写成字母形式，例如$i,j$。
• 任意一个虚数都可以表示成$a+bi$的形式，其中$a,b$为有理数。
• 在复平面中，$a+bi$的位置在$(a,b)$，原点和$a+bi$所在点的连线与x轴的夹角成为辐角。
• 如果两个虚数的积为实数则称这两个虚数共轭。其中任意一个虚数为另一个虚数的共轭复数。

• 集合：

• 集合是数学上的基本概念，所以集合没有定义。
• 集合的每一个单独的量成为该集合的元素。
• 集合的一些量组成的集合成为该集合的子集。
• 集合常用符号：$\emptyset$ 或 $\varnothing$空集 没有元素的集合。$\in$属于 表示一个数属于某个集合。$\notin$不属于 表示一个数不属于某个集合。例子：$S=\{1,2,3,4,5\}$，则$1\in S,6\notin S$$\subseteq$包含于 表示一个集合是另一个集合的子集。$\nsubseteq$不包含于 表示一个集合不是另一个集合的子集。例子：$S_1=\{1,2,3,4,5\},S_2=\{2,3,4\},S_3=\{5,6,7\}$，则$S_2\subseteq S_1,S_3\nsubseteq S_1$$\cap$交 表示两个集合的共同部分。$\cup$并 表示两个集合的共同部分和两个集合的单独部分。例子：$S_1=\{1,2,3,4\},S_2=\{2,3,4,5\},S_3=\{5,6,7\},S_4=\varnothing$，则有下列公式:

• 集合的公理：

• 集合的每个元素都具有互异性。

• 通用集合：
  $N$
  $N^+$
  $Z$
  $Z^+$
  $Q$
  $R$

• 整除

• 前置芝士： 若$m,n \in Z$ 且 $n>0$，则$\exists q,r$且$0 \le r < n$ 使得 $m=qn+r$

此处不予证明，因为这是句废话，而且需要很长的篇幅来证明。

• 对于$m,n \in Z$ 且 $m \ne 0$，若$n=cm,c\in Z$，则称$m$整除$n$。记作：$m\mid n$

• 注意：$m|n$指的是$\displaystyle\frac{n}{m}$为整数，即$n=cm,c\in Z$.

• 一些引理：

• 若 $n\in Z$ 则有 $1\mid n$
• 若 $m\ne0$ 则 $m\mid 0$
• 若 $m\mid n,n\mid q$ 则 $m\mid q$
• 若 $m\mid 1$ 则 $m=1$或$-1$
• 若 $m\mid n,n\mid m$ 则$m=\pm n$

• gcd（最大公因数）：

• 任意两个数只有唯一一个最大公因数。
• 最大公因数定义：

• 对$a,b$且$a,b$不全为$0$
  若$有c\in Z满足：$
  $c\mid a,c\mid b$
  若 $\exists\,d\mid a$ 且 $d\mid b$ 则 $d\mid c$

公因数：指两个数都有的因数

例如 8 的因数为 1,2,4,8，6 的因数为 1,2,3,6，则 8 和 6 的公因数为 1,2

最大公因数：指两个数的公因数中的最大数。

上面的例子中，6 和 8 的最大公因数为 2，记作gcd(6,8)=2

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组合

Chapter I 卡特兰数

典型模型：

有一家电影院票价5美刀。
有2n个客人。
其中n个客人有5美刀。
另外n个客人有10美刀。
做生意需要找零钱，所以当客人付出10美刀时，你需要找零5美刀。
问题在于，你一开始没有钱。所以你需要在自己足够的有5美刀钱币时才能收10美刀钱币。
求你能成功找零的情况下，客人来的顺序的方案数。

答案：$h_n$

解析：

创建一个n*n的矩阵。现在我们在矩阵的(1,1)处。
如图：

n=5
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

假设收一个5美刀钱的人等价于向下走一步。
收一个10美刀钱的人等价于向右走一步。
则问题转化为：保证当前位置不在主对角线（左上->右下）上方（可以在线上）。
如图，* 为可走区域：

n=5
* 0 0 0 0
* * 0 0 0
* * * 0 0
* * * * 0
* * * * *

公式：

• $h_i=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{n-1} h_i\times h_{n-i-1}$
• $h_n=\displaystyle\frac{C^n_{2n}}{n+1}$
• $h_n=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$
• $h_n=h_{n-1}\times(4n-2) /(n+1)$

Chapter II 斯特林数

• 第一类

• $n$个不同元素组成$m$个环排列
  递推公式：$S_{1_{n,m}}=S_{1_{n-1,m-1}}+S_{1_{n-1,m}}\times (n-1)$
• 第一类斯特林数很难想出来

• 第二类

• $n$个不同的球放入$m$个相同的盒子，盒子不定
  递推公式：$S_{2_{n,m}}=S_{2_{n-1,m-1}}+S_{2_{n-1,m}}\times m$

-第二类斯特林数相对第一类而言，较为简单，但是还是难

斯特林数行列的模板都是黑题

数论没一个简单的东西，全寄吧是废人的题

Chapter III Lucas定理

前置芝士: $C_n^m$可以表示为$\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$

然后你就可以这样祖安他人了。正确的

一个质数$p$，如果$n=sp+q$，$m=tp+r$

则$\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}s\\t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}q\\r\end{pmatrix}\pmod{p}$

引理：

1. p为质数时，$\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}\equiv0\pmod{p}$
2. 多项式$\displaystyle f(x)=\sum\limits_{i=0}^{N}a_ix_i$，$g(x)=\sum\limits_{i=0}^{M}b_ix_i$
3. $(1+x)^n=\displaystyle \sum\limits_{i=0}^{n}C_n^ix^i$

Chapter IV 欧拉函数和素数函数

素数函数：$\pi(n)$ 表示$n$内质数的个数。

欧拉函数：$\varphi(n)$ 表示$n$内和$n$互质的数的个数。

• 欧拉函数计算公式：$\varphi(m)=m\displaystyle\prod\limits_{p\mid m}(1-\frac{1}{p})$
• 欧拉函数的性质：

• 若$p$是质数，则$\varphi(p)=p-1$
• $\forall m \in N^+$，有$\displaystyle\sum\limits_{d\mid m}\varphi(d)=\sum\limits_{d\mid m}\varphi(\frac{m}{d})=m$

• 证明：
• 对$\forall d\mid m$，$1\le a \le m$，设$(a,m)=d$，则$(\displaystyle\frac{a}{d},\frac{m}{d})=1$，则$(a,m)=d$有$\varphi(d)$种取法。则$\displaystyle\sum\limits_{d\mid m}\varphi(\frac{m}{d})=m$

• $a^{\varphi(m)}\equiv1\pmod{m}$，$(a,m)=1$时。

Chapter V 素数筛法

筛法	时间复杂度	原理
埃氏筛	$O(NlnlnN)$	筛选到一个质数，把这个质数的所有$\le n$的倍数全都筛掉
欧拉筛	较快，$O(N)$	对于每一个数，被其最小质数因子筛去

不提供证明，因为作者不会微只因分

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又是数论

Chapter I 一些函数

• 质数函数 $\pi(m)$ 表示 $\le m$
• 欧拉函数 $\varphi(m)$ 表示 $1$~$m$ 中和 $m$

• 对$m \in Z^+$，$\varphi(m)$ 表示 $\{1,2,\dots,m-1\}$ 中和 $m$

• 莫比乌斯函数 $\mu (m)=\begin{cases}0&m_{have}P^2\\1&m=1\\(-1)^k&m=p_1p_2\dots p_k\end{cases}$

PS: $m_{have}P^2$表示m的因子中含有P的平方

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Chapter II 简化剩余系

$\{x |\equiv k\pmod{m},k \in \{1,2,\dots,m-1\}\& (k,m)=1\}$

人话： 由 $\varphi(m)$ 个整数组成，且每个元素与m互质，且任意两个元素 $\pmod{m}$

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Chapter III 拓展芝士：群的定义

本质是一个集合在该集合上定义运算$\times$（乘法）且该集合在这两种运算满足：

1. 对 $\times$

• $a,b\in S,a\times b\in S$

2. $a(bc)=(ab)c$
3. $\exists$单位元 $e\in S$，有$a^{-1}$ 满足$a\times a^{-1}=e$
4. $\forall a\in S$，有$a^{-1}$满足$a\times a^{-1}=a^{-1}\times a=e$

• 如果满足上述条件，则称 $S$ 为群

举个栗子

1. 非零实数集，关于普通乘法
2. $\{1\}$，关于普通乘法。

• 类似于$\{1\}$这样的一个元素的集合成为平凡群
  真 平 凡 啊

3. 有理数集(去除0)，关于普通乘法
4. $Z$，关于普通加法

• $e=0$
• $a^{-1}=-a$

5. n阶可逆阵，对于矩阵乘法。
6. $R$

• $+$
• $\times$

Chapter IV 乘法函数

前置芝士：算术函数

• 算术函数是指定义在所有正整数上的函数。

如果算术函数 $f$ 满足 $f(mn)=f(m)f(n)$

则称$f$为乘法函数。

注意：$(m,n)$=1

如果$f$对任意$m,n\in Z^+$，有$f(m,n)=f(m)f(n)$，则称$f$为完全乘法函数。

• $\varphi$

一些定理

• 若$f$为乘法函数且$n=p_1^{a_1}\dots p_s^{a_s}$为$n$的素数分解，则$f(n)=\displaystyle\prod\limits_{i=1}^{s}p_i^{a_i}$
• 令$p$为素数，$a\in Z^+$，则：$\varphi(p^a)=p^q-p^{a-1}$
• 由于$\varphi$ 是乘法函数，则$\varphi(nm)=\varphi(n)\times\varphi(m)$

证明：

$\begin{bmatrix}1&m+1&2m+1&\dots&(n-1)m+1\\2&m+2&2m+2&\dots&(n-1)m+2\\3&m+3&2m+3&\dots3&(n-1)m+3\\\dots&\dots&\dots&\dots&\dots\\m&2m&3m&\dots&nm\\\varphi(m)&&&&\varphi(nm)\end{bmatrix}$

看图心自知其实作者忘了怎么证明了

Chapter V 中国剩余定理

举个经典的例子：

lty2000 have a number but I don't know it.
Three three count it mod equal one.
Five five count it mod equal three.
Seven seven count it mod equal five.
Question:what's the number?

人话：求$\begin{cases}x\equiv 1\pmod{3}\\x\equiv 3\pmod{5}\\x\equiv 5\pmod{7}\end{cases}$的解

Chapter VI Pollard算法基本介绍（没码）

泼腊肉！恶臭恶俗的泼腊肉！

算法用于：对于$n$，找$n$的因数
适用数据范围：n很大，且素因数$p$很大。

引理：
若 $a,b\in Z^+$，则 $2^a-1\pmod{2^b-1}$的最小正余数为$2^r-1$，$r$是$a\mod b$的最小正余数

$r(A)=$阶梯形中主元的个数