李白买酒Python解题思路李白买酒的故事

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数据分析家 2024-07-08 17:03:02

文章标签 李白买酒Python解题思路 ci 二元关系传递闭包 文章分类 Python 后端开发

定义

【二元关系】

设 \(X, Y\) 是两个集合，\(R: X\times Y \rightarrow \{ 0, 1 \}\) 称为 \(X\) 与 \(Y\)
设 \(X, Y\) 是两个集合，\(R \subseteq X \times Y\) 称为 \(X\) 与 \(Y\)
设 \(X, Y\) 是两个集合，\(R: X\rightarrow \mathcal{P}(Y)\) 称为是 \(X\) 与 \(Y\)

【两个元素符合某关系】

设 \(X, Y\) 是两个集合，\((x, y) \in X \times Y\)，若 \(R(x, y) = 1\)，则称 \(x, y\) 符合关系 \(R\)，记作 \(xRy\)；若 \(R(x, y) = 0\)，则称 \(x, y\) 不符合关系 \(R\)
设 \(X, Y\) 是两个集合，\((x, y) \in X \times Y\)，若 \((x, y) \in R\)，则称 \(x, y\) 符合关系 \(R\)，记作 \(xRy\)；若 \((x, y) \notin R\)，则称 \(x, y\) 不符合关系 \(R\)

【n 元关系】设 \(X_1, X_2, \cdots , X_n\) 是集合，\(R \subseteq X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n\) 称为 \(X_1, X_2, \cdots , X_n\) 的 \(n\)

【恒等关系】设 \(X\) 是一个集合，\(I = \{ (x, x) \mid x \in X \}\)

【自反关系】设 \(R \subseteq X \times X\)，对于 \(\forall x \in X, \ xRx\) 都成立，则 \(R\)

【反自反关系】设 \(R \subseteq X \times X\)，对于 \(\forall x \in X, \ xRx\) 都不成立，则 \(R\)

【对称关系】设 \(R \subseteq X \times Y, \ (x, y) \subseteq X \times Y\)，如果命题「\(xRy \rightarrow yRx\)」成立，则称关系 \(R\)

【反对称关系】设 \(R \subseteq X \times Y, \ (x, y) \subseteq X \times Y\)，如果命题「\(xRy \wedge yRx \rightarrow x = y\)」成立，则称关系 \(R\)

【传递关系】设 \(R \subseteq X \times X\)，若 \(xRy, yRz \rightarrow xRz\)，则关系 \(R\)

【关系的逆】设 \(R \subseteq X \times Y, \ R^{-1} = \{ (y, x) \mid (x, y) \in R \}\) 称为关系 \(R\)

【关系的集合运算】设 \(R_1, R_2 \subseteq X \times Y\)，则根据集合运算可以得到如下一些运算： \(R_1 \cap R_2, R_1 \cup R_2, R_1 \ \verb|\| \ R_2 \cdots\)

【关系的合成】设 \(R \subseteq X \times Y, \ S \subseteq Y \times Z\)，则 \(R\) 与 \(S\) 的合成记作 \(R \circ S\)，且 \(R \circ S = \{ (x, z) \in X\times Z \mid \exists y \in Y, (x, y) \in R \wedge (y, z) \in S \}\)

【传递闭包】设 \(R \subseteq X \times X, \ R\) 的传递闭包记作 \(R^+ = \bigcap R^\prime\)，其中 \(R \subseteq R^\prime\) 且 \(R^\prime\)

【自反传递闭包】\(R \subseteq X \times X, \ R\) 的自反传递闭包记作 \(R^* = R^0 \cup R^+\)

【关系矩阵】设 \(R \subseteq X \times Y, \ \vert X \vert = n, \ \vert Y \vert = m\)，则定义矩阵 \(B_{n\times m}\)，其中 \(B_{ij} = 1 \ if \ (x_i, y_j) \in R \ else \ 0\)，我们称这个矩阵为布尔矩阵

定理

【闭包计算公式】

\(R^+ = \bigcup_{i=1}^\infty R^i\)
\(\vert X \vert = n, \ R \subseteq X \times X, \ R^+ = \bigcup_{i=1}^n R^i\)

【关系合成的结合律】设 \(R \subseteq X \times Y, S \subseteq Y \times Z, T \subseteq Z \times W\)，则 \((R \circ S) \circ T = R \circ (S \circ T)\)

【关系合成的分配律】设 \(R \subseteq X \times Y, \ S, T\subseteq Y \times Z\)，则 \(R \circ (S \cup T) = (R \circ S) \cup (R \circ T)\)，同理，右分配律也成立

性质

【关系与关系矩阵的关系】

自反关系 \(\Leftrightarrow\) 布尔矩阵对角线全为 1 \(\Leftrightarrow I \subseteq R\)
反自反关系 \(\Leftrightarrow\)
对称关系 \(\Leftrightarrow\) 布尔矩阵的转置等于其自身 \(\Leftrightarrow R^{-1} \subseteq R\)
传递关系 \(\Leftrightarrow\) 若 \(B_{ik} = 1, \ B_{kj} = 1\) 则 \(B_{ij} = 1\) \(\Leftrightarrow R^2 \subseteq R\)

【关系矩阵的代数运算】
设 \(R, S\)