1.树的定义

  • 根结点（root）：对一棵树树来说最多存在一个根结点。
  • 叶子结点（leaf）：叶子节点不再延伸出新的结点，即度为0的结点。
  • 边（edge）：茎干和树枝的统一抽象，且一条边只用来连接两个结点，
    　树被定义成由若干个结点和若干条边组成的数据结构，且在树中的结点不能被边连接成环。
    　
    比较实用的概念和性质：
    　（1）空树（empty tree）：没有结点。
    　（2）树的层次(layer)从根结点开始算起，即根点为第一层，根结点子树的根结点为第二层。以此内推。
    　（3）把结点的子树颗数称为结点的度(degree)    ，而树中结点的最大的度称为树的度（也称为树的宽度）。
    　（4）对有n个结点的树，边数一定是n-1。且满足连通、边数等于顶点数减1的结构一定是一棵树。
    　（5）当树中只有一个结点（只有根结点）时，根结点也算作叶子结点。
    　（6）结点的深度：指从根结点（深度为1）开始自顶向下逐层累加至该结点的深度。
    　结点的高度：指从最底层叶子结点（高度为1）开始自底向上逐层至该结点时的高度值。
    　树的深度指树中结点的最大深度。树的高度是指树中结点的最大高度。对树而言，深度和高度都是相等的。
    　（7）多棵树组合在一起成为森林。
    　
    2.二叉树的递归定义
    　 - 要么二叉树没有根结点，是一颗空树。
    　 - 要么二叉树由，根结点、左子树、右子树组成，且左子树和右子树都是二叉树。

二叉树是度为2，且严格区分左右子树的树。
　
　（1）满二叉树：每一层的结点个数都达到了当层能达到的最大结点树。
　（2）完全二叉树：除了最下面一层之外，其余层的结点个数都达到了当层能达到的最大结点数，且最下面一层只从左至右连续存在若干结点，而这些连续结点右边的结点全部不存在。
　
3.二叉树的存储结构与基本操作
（1）使用链表来定义的二叉树：

struct node{
	typename data;//数据域
	node* lchild;//指向左子树根结点的指针
	node* rchild;//指向右子树根结点的指针
};

根结点的初始：

node* root = NULL;

（2）新建结点的函数：

node* newNode(int v){
	node* Node = new node;
	Node->data = v;
	Node->lchild = Node->rchild = NULL;
	return Node;
}

（3）二叉树结点的查找、修改
　使用递归来完成，递归式：对左右子节点进行递归。递归边界，当前结点为空。

void search(node* root,int x,int newDate){
	if(root == NULL) return;
	if(root->data == x){
		root->data = newData;
		return;
	}
	search(root->lchild,x,newData);
	search(root->rchild,x,newDta);
}

（4）二叉树结点的插入
　 　 不同的问题有不同的插入条件，但二叉树的插入位置一般只会有一个，即为查找失败的的位置。下面代码供参考：

void insert(node* &root,int x){
	if(root == NULL){
		root = newNode(x);
		return;
	}
	if(由二叉树的性质，x应该插在左子树){
		insert(root->lchild,x);
		}else{
			insert(root->rchild,x);
		}
	}

此处用了引用，而查找修改的函数中没用。因为在这里是新建结点，对二叉树的结构做出了修改，需要加引用才能修改到原变量。如果只是修改当前已有结点的内容，就不用加引用。

（5）二叉树的创建
　二叉树的创建其实就是二叉树结点的插入过程，而插入所需要的结点数据域一般都会由题目给出，因此比较常用的写法是把需要插入的数据存储在数组中，然后再将它们使用insert函数一个个插入二叉树中，并最终返回根结点的指针root。

node* Create(int a[],int n){
	node* Node = new node;
	for(int i =0;i<n;i++){
		insert(root,a[i]);
		}
		return root;
	}

 对于完全二叉树当中的任何一个结点（设编号为x），其左孩子的编号一定是2x，而右孩子的编号一定是2x+1。且根结点为1。
　完全二叉树完全可以通过建立一个大小为2^k的数组来存放所有结点的信息，其中k为完全二叉树的最大高度。
　该数组中元素存放的顺序恰好为该完全二叉树的层序遍历序列。