《数学》本就是我们原本掌握却又遗忘的知识

一、知识纲要

1.向量的相关概念

（1）向量：

既有大小又又方向的量叫做向量，记为 深度学习向量分类 向量学不明白_几何学 或者 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_02。向量又称矢量。

注意 ：①向量和标量的区别：向量既有大小又有方向：标量只有大小，没有方向。普通的数量都是标量，力是一种常见的向量。②向量常由有向线段来表示，但也不能说向量就是有向线段，因为向量是自由的，可以平移：有向线段有固定的起点和终点不能随缘移动。

（2）向量的模：

向量的大小又叫做向量的模，它指的是向量的有向线段的长度。
记作：深度学习向量分类 向量学不明白_标量_03 或 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_04。

注意：向量本身不能比较大小，但向量的模可以

（3）零向量：

长度为0的向量叫做零向量,记作深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_05,零向量的方向是任意的。

注意：①深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_06 =0; ②深度学习向量分类 向量学不明白_标量_07

（4）单位向量：

模长为1个单位长度的非零向量叫做单位向量。

注意：若向量深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_06_=1。

2、向量的表示：

（1）几何表示法：

用带箭头的有向线段表示，如深度学习向量分类 向量学不明白_几何学

（2）符号表示法：

用一个小写的英文字母表示，如 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_02 ,深度学习向量分类 向量学不明白_标量_11等；

（3）坐标表示法：

在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_12 、深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_13 为基低向量，则平面内的任一向量深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_02 可以表示为 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_02 =深度学习向量分类 向量学不明白_标量_16 + 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_17=(x,y),称（x,y）为向量深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_02 的坐标，深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_02 =(x,y)叫做向量深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_02 的坐标表示，此时深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_04 = 深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_22。

若已知深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_23 和 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_24,则 深度学习向量分类 向量学不明白_几何学 =深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_26，即终点坐标减去起点坐标。

特别的，如果向量的起点是在原点，那么向量的坐标数值与向量的终点坐标数值相同。

3、向量之间的关系：

（1）平行（共线）：

对于两个非零向量，若它们的方向相同或相反的，那就就称这两种关系为平行，记作深度学习向量分类 向量学不明白_标量_27，换言之，方向相同或者方向相反的两个向量叫做平行向量（共线向量）。

相互平行的两个向量之间的夹角为0°或者180°，记作深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_28

由于向量可以进行任意平移（所以向量又叫自由向量），所以平行向量总可以平移到同一条直线上，故平行向量也可以称为共线向量。

_注意：① 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的共线含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。

②规定深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_05平行于任何的量，故在有关向量平行（共线）问题中务必清楚是否有“非零向量”这个条件。③平行向量无法传达性（因为有深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_05）。_

（2）不平行：

对于两个非零的向量 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_02 和 深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_32，则称这两个向量不平行。

此时，他们的夹角范围是深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_33。

特别的，当深度学习向量分类 向量学不明白_标量_34，称为两个向量垂直，记为深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_35。

4、由向量之间的关系引用出的术语：

（1）同向向量：

如果两个向量的方向相同（即：共线并夹角为0°），那么就称这两个向量是同向向量。深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_36。

（2）反向向量：

如果两个向量方向相反（即：共线并且夹角为180°），那就称这两个向量为相反向量。深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_37。

注意：同向向量和反向向量都是共线向量。并且只考虑方向，不研究模长的大小关系。

（3）相等向量：

长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,记为深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_38。

注意：
① 相等相等向量经过平移后总可以重合的，是同向量的升级版。
② 相等向量的坐标体现为：深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_39深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_40 。
③若深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_41且深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_42。即向量相关具有传递性。

（4）相反向量：

长度相等切方向相反的两个向量为相反向量,深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_02的相反向量标记为深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_44, 深度学习向量分类 向量学不明白_几何学的相反向量记为：深度学习向量分类 向量学不明白_标量_46

注意：
① 相反向量反向向量的升级版，要求方向相等且大小相等，即 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_47。
② 若深度学习向量分类 向量学不明白_标量_48与深度学习向量分类 向量学不明白_标量_49为相反向量，深度学习向量分类 向量学不明白_标量_50。
③ 相反向量的坐标体现为：深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_51深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_52
④ 双重取反必还原：深度学习向量分类 向量学不明白_标量_53。

5、向量的线性运算：

（1）向量加法：

求两个向量和的运算叫做向量的加法。

注意：加法性质：
① 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_54，任何向量与零向量相加都等于任何向量。
②深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_55,一对相反的向量的和一定等于零向量。
③向量加法满足交换定律：深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_56。
④向量加法满足结合定律：深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_57。

（2）向量减法：

求两个向量的差的运算叫做向量的加法。
记作：深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_58 , 即求两个向量深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_59的差，等于向量深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_60的相反向量。

注意：
① 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_61；
②若 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_62是互为相反向量，则深度学习向量分类 向量学不明白_标量_63。

小结：加减法的运算法则

“三角形法则”
“平行四边形法则”

说明：向量加法有 “三角形法则” 与 “平行四边形法则”
①用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线。方向是从减向量指向被减向量。
②三角形法则的特性是“首尾相连”，由第一个向量起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则：当两个向量是首尾相连的时，用三角形法则，向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：深度学习向量分类 向量学不明白_标量_64，但这时必须"首尾相连"。

（3）向量的数乘运算：

实数深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_65与向量 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_02 的积是一个向量，所得的结果表示：在深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_02的方向（或深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_02的相反方向）取深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_65倍
构成一个新的向量深度学习向量分类 向量学不明白_标量_70。

深度学习向量分类 向量学不明白_标量_70的长度与方向规定如下：

① 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_72；

②当深度学习向量分类 向量学不明白_标量_73时，深度学习向量分类 向量学不明白_标量_70的方向与深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_02的方向相同；当深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_76时，深度学习向量分类 向量学不明白_标量_70的方向与深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_02 的方向相反；当深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_79时，深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_80，方向是任意的。

③数乘向量满足交换律、结合律与分配律：

深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_81

深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_82

深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_83

6、向量的投影和数量积：

（1）两个向量的数量积：

已知两个非零的向量 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_02 和向量 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_11 ，它们的夹角为 深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_86 ，则 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_87 叫做 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_02 与 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_11 的数量积（或内积）,规定 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_90。

（2）向量的投影：

深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_91，称为向量 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_11 在 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_02

投影的绝对值称之为射影。

（3）数量积的几何意义：

深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_94 等于 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_02 的长度与 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_11 在 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_02

（4）向量的模与平方的关系：

深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_98。

（5）乘法公式成立：

深度学习向量分类 向量学不明白_标量_99

深度学习向量分类 向量学不明白_标量_100

（6）平面向量数量积的运算律：

① 交换律成立：深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_101；

② 对实数的结合律成立：深度学习向量分类 向量学不明白_标量_102;

③ 分配律成立：深度学习向量分类 向量学不明白_标量_103;

特别注意：
(1) 结合律不成立：深度学习向量分类 向量学不明白_标量_104;
(2) 消除率不成立 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_105 不能得到 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_42;
(3) 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_107 不能等到 深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_108或 深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_109；

7、向量的坐标运算：

（1）已知起点和终点的坐标，求向量坐标：

已知深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_23和深度学习向量分类 向量学不明白_标量_24，则 深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_112 。即深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_113

（2）已知向量坐标，求向量模：

已知 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_114，则 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_115；

已知 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_23 和 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_24 , 则 深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_118，
本公式等价于“两点间距离公式：已知深度学习向量分类 向量学不明白_标量_119则深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_120”。

（3）已经两个向量的坐标，求这两个向量加减、数乘和数量积

① 加减：已知 深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_121则深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_122，即对应纵横坐标相加减。
② 数乘：已知 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_114，则深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_124，即倍数对坐标分配。
③ 数量积：已知 深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_125，则 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_126。即对应坐标之积再相加。

（4）已知两个向量的坐标，求这两个向量的夹角或者夹角余弦值：

已知深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_125，则：
深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_128

8、向量的夹角

已知两个非零的向量深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_02 与 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_11 ,作 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_131 ,则深度学习向量分类 向量学不明白_标量_132叫做向量深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_02与深度学习向量分类 向量学不明白_标量_11的夹角，记为深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_28。

注意：① 研究向量夹角的时候，必须将两个向量的起点移动到同一个点上；

② 当且仅当两个非零向量深度学习向量分类 向量学不明白_标量_48与深度学习向量分类 向量学不明白_标量_49同方向是，深度学习向量分类 向量学不明白_标量_138

③当且仅当深度学习向量分类 向量学不明白_标量_48与深度学习向量分类 向量学不明白_标量_49方向相反时深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_141

④深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_142

⑤深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_143

⑥ 向量夹角与数量积的关系：
当 深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_144 为锐角时，深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_145(反之不成立，因为数量积为正数的两个向量不一定构成锐角，可能平行且同向)；当深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_144 为钝角的时，深度学习向量分类 向量学不明白_标量_147(反之不成立，因为数量积为负数的两个向量不一定构成钝角，可能是平行且相反)

9、平面向量的基本定理

如果 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_148 是一个平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任何一向量深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_02，有且只有一对 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_150 使： 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_151，其中不共线的向量深度学习向量分类 向量学不明白_标量_148叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

若给定一组基底向量，则平面内的任何一个向量都存在一组实属对与之对应，当这组基底是两个相互垂直的单位向量时，这组基底可以构成一个系统，这个系统叫平面直角坐标系，与向量对应的实数对就是坐标。

10、向量垂直（共线）的基本定理

（1）共线：

深度学习向量分类 向量学不明白_标量_153，此为向量平行的符号表达。

若深度学习向量分类 向量学不明白_标量_154,则深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_155 或 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_156

注意：对于“ 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_157 ”，当深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_108时，可以看成是非零向量深度学习向量分类 向量学不明白_标量_49的0倍即深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_160，所以规定“零向量深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_161与任何非零向量深度学习向量分类 向量学不明白_标量_49

（2）垂直：

非零向量深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_02 和 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_11 满足：深度学习向量分类 向量学不明白_标量_165，此为向量平行符号的表达式。

若深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_125，则深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_167，此为向量平行坐标表达式。

即：两个非零向量垂直等价于这两个向量的数量积为0。
若深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_02和深度学习向量分类 向量学不明白_标量_11 中有一个向量为零向量，则数量积一定为0，此时无需讨论深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_02和深度学习向量分类 向量学不明白_标量_11是否垂直。所有规定“零向量与任何非零的向量平行”，但是规定“零向量与任何非零的向量垂直”。

11、有向线段的定比分点

（1）定义：

设点深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_172是直线深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_173上异于深度学习向量分类 向量学不明白_标量_174 的任意一点，若存在一个事数深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_65 ，使 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_176，则深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_65 叫做点P分有向线段深度学习向量分类 向量学不明白_标量_178 所成的比，深度学习向量分类 向量学不明白_标量_179点叫做有向线段 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_178 的以定为 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_181（简称：点 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_179为定比分点）

（2）深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_65 的符号与分点 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_172

当深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_172点在线段 深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_173 上时 深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_187;

当深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_172点在线段 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_189 的延长线上时 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_190

当深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_172 点在线段 深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_173 的延长线上时 深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_193;

若点 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_172 分别有线段 深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_195 所成的比为 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_65 ，则点 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_172 分有向线段 深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_195所成的比为 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_199。

（3）线段的定比分点公式：

设 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_200分别有向线段 深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_195 所成的比为 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_65 ，则分点 深度学习向量分类 向量学不明白_深度学习向量分类_172 的坐标为 深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_204即 深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_205，特别地，当 深度学习向量分类 向量学不明白_标量_206 时，就得到线段 深度学习向量分类 向量学不明白_几何学_173 的中点公式深度学习向量分类 向量学不明白_标量_208。