Python中的傅里叶变换和逆变换

在信号处理和图像处理领域，傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，用于将一个函数在时域（或空域）中的表示转换为频域中的表示。通过傅里叶变换，我们可以将信号分解成不同频率的正弦波和余弦波的叠加，这对于分析信号的频率成分、滤波和压缩等应用非常有用。

在Python中，我们可以使用numpy库中的fft模块来进行傅里叶变换和逆变换。本文将介绍如何使用Python进行傅里叶变换和逆变换，以及如何从相位和振幅恢复原始信号。

傅里叶变换

首先，让我们来看一个简单的例子，如何使用Python进行傅里叶变换。假设我们有一个包含周期为1s的正弦波信号：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成正弦波信号
fs = 1000  # 采样频率
t = np.linspace(0, 1, fs, endpoint=False)
f = 5  # 信号频率为5Hz
x = np.sin(2 * np.pi * f * t)

plt.plot(t, x)
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.title('Input Signal')
plt.show()

我们首先生成了一个频率为5Hz的正弋波信号，并将其可视化出来。接下来，我们使用numpy.fft.fft函数对信号进行傅里叶变换：

X = np.fft.fft(x)
freqs = np.fft.fftfreq(len(x), 1/fs)

plt.stem(freqs, np.abs(X))
plt.xlabel('Frequency (Hz)')
plt.ylabel('Magnitude')
plt.title('Frequency Spectrum')
plt.show()

通过上述代码，我们得到了信号的频谱图，可以看到信号主要集中在5Hz的频率附近。

逆变换

接下来，让我们尝试对傅里叶变换后的信号进行逆变换，恢复原始信号。我们可以使用numpy.fft.ifft函数来进行逆变换：

x_reconstructed = np.fft.ifft(X)

plt.plot(t, x_reconstructed.real)
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.title('Reconstructed Signal')
plt.show()

通过逆变换，我们成功地恢复了原始信号。这证实了傅里叶变换和逆变换是互为逆过程的。

从相位和振幅恢复信号

有时候，我们可能只有信号的相位和振幅信息，而没有原始信号的时域数据。在这种情况下，我们可以使用numpy库提供的函数numpy.exp和numpy.angle来从相位和振幅恢复信号。下面是一个示例代码：

# 生成信号的振幅和相位
A = np.abs(X)
phi = np.angle(X)

# 从振幅和相位恢复信号
x_recovered = A * np.exp(1j * phi)
x_recovered = np.fft.ifft(x_recovered)

plt.plot(t, x_recovered.real)
plt.xlabel('Time (s)')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.title('Recovered Signal from Phase and Amplitude')
plt.show()

通过上述代码，我们成功地从信号的相位和振幅信息中恢复了原始信号。这展示了傅里叶变换的另一个重要应用领域。

序列图

下面是一个描述整个傅里叶变换和逆变换过程的序列图：

sequenceDiagram
    participant InputSignal
    participant FourierTransform
    participant InverseTransform
    participant OutputSignal
    InputSignal->>FourierTransform: Input Signal
    FourierTransform->>InverseTransform: Fourier Transform
    InverseTransform->>OutputSignal: Reconstructed Signal

类图

最后，让我们来看一下傅里叶变换和逆变换在Python中的类图：