点球大战纳什均衡的python实现
引言
点球大战是足球比赛中的一种情况，当比赛结束后，双方得分相同，需要通过点球大战决出胜负。点球大战是一种典型的博弈问题，双方球队需要在射门和扑救之间做出选择。纳什均衡是博弈论中一种重要的概念，表示在博弈过程中各方做出的选择是最优的，没有任何一方可以通过单方面的改变来提高自己的收益。
本文将以python语言为例，介绍如何使用博弈论中的纳什均衡概念来改进点球大战的策略，并给出相应的代码示例。
点球大战的规则
点球大战的规则很简单：每个队员轮流射门，进球得1分，未进得0分。两队轮流射球，直到一方得分超过另一方或者射球次数达到一定上限。
纳什均衡的概念
纳什均衡是指在博弈过程中，各方做出的选择是最优的，没有任何一方可以通过改变自己的策略来提高自己的收益。在点球大战中，双方球队可以选择射门或者扑救。假设A队选择射门的概率为p，B队选择射门的概率为q，那么A队得分的期望为p，B队得分的期望为q。根据纳什均衡概念，A队选择射门的概率p应该满足以下条件：
p = argmax(p*(1-q) + p*q)
同理，B队选择射门的概率q应该满足以下条件：
q = argmax(q*(1-p) + q*p)
可以通过迭代的方式来求解这个方程组，找到纳什均衡的解。
代码实现
下面是使用python语言实现点球大战纳什均衡的代码示例：
import numpy as np
def nash_equilibrium():
p = 0.5
q = 0.5
epsilon = 0.0001
while True:
old_p = p
old_q = q
p = max(p * (1 - q) + p * q, (1 - p) * q + p * q)
q = max(q * (1 - p) + q * p, (1 - q) * p + q * p)
if abs(old_p - p) < epsilon and abs(old_q - q) < epsilon:
break
return p, q
p, q = nash_equilibrium()
print("Team A shoots with probability:", p)
print("Team B shoots with probability:", q)
上述代码首先初始化A队和B队选择射门的概率为0.5，然后通过迭代的方式求解纳什均衡的解。迭代的停止条件是当A队和B队选择射门的概率变化小于给定的阈值时，结束迭代。最后输出A队和B队选择射门的概率。
状态图
下面是点球大战的状态图，使用mermaid语法标识：
stateDiagram
[*] --> TeamAShoots
TeamAShoots --> TeamBShoots
TeamBShoots --> TeamAShoots
TeamAShoots --> TeamBGoal
TeamBShoots --> TeamAGoal
TeamBGoal --> [*]
TeamAGoal --> [*]
上述状态图描述了点球大战的各个状态，包括A队射门、B队射门、A队得分和B队得分。初始状态为A队射门，然后双方轮流射门，直到一方得分超过另一方或者射球次数达到上限。
