python 混合纳什均衡

Python混合纳什均衡

引言

在博弈论中，纳什均衡是指在多人博弈中，每个玩家选择的策略使得其他玩家无法通过单方面改变自己的策略来获得更多收益的情况。在实际应用中，混合纳什均衡是一种常见的均衡解概念，指的是玩家选择的策略是概率分布而不是确定性策略。本文将介绍如何使用Python来计算混合纳什均衡，并给出相应的代码示例。

纳什均衡的定义

在博弈论中，一个博弈可以由一个四元组$(N, A, u, p)$来表示，其中$N$是玩家的集合，$A$是每个玩家的行动集合，$u$是每个玩家的效用函数，$p$是玩家的策略集合。

对于一个有限的博弈来说，每个玩家$i$的策略可以表示为一个$n_i$维的概率分布向量$p_i=(p_i^1, p_i^2, ..., p_i^{n_i})$，其中$p_i^j$表示玩家$i$选择策略$j$的概率。

在一个混合策略纳什均衡中，每个玩家的策略都是最优的，即任何玩家改变自己的策略都无法获得更多的效用。数学上，对于每个玩家$i$，其效用函数$u_i(p_1, p_2, ..., p_n)$满足以下条件：

$$u_i(p_1, p_2, ..., p_n) \leq u_i(p_1', p_2, ..., p_n)$$

对于任意的$p_1'$，其中$p_1'$是玩家1选择任意策略的概率分布向量。

Python代码示例

接下来，我们将使用Python来计算一个两人博弈的混合纳什均衡。假设有两个玩家A和B，他们的策略集合分别为$A={A_1, A_2}$和$B={B_1, B_2}$，效用函数分别为：

$$u_A(A_1, B_1) = 2A_1 + 3B_1$$ $$u_A(A_1, B_2) = 0A_1 + 1B_2$$ $$u_A(A_2, B_1) = 1A_2 + 0B_1$$ $$u_A(A_2, B_2) = 3A_2 + 2B_2$$

$$u_B(A_1, B_1) = 2A_1 + 1B_1$$ $$u_B(A_1, B_2) = 1A_1 + 3B_2$$ $$u_B(A_2, B_1) = 0A_2 + 2B_1$$ $$u_B(A_2, B_2) = 3A_2 + 0B_2$$

首先，我们需要导入需要的库：

import numpy as np
from scipy.optimize import linprog

接下来，我们可以定义玩家A和B的效用函数：

def u_A(A, B):
    return np.array([[2*A[0] + 3*B[0], 0*A[0] + 1*B[1]], [1*A[1] + 0*B[0], 3*A[1] + 2*B[1]]])

def u_B(A, B):
    return np.array([[2*A[0] + 1*B[0], 1*A[0] + 3*B[1]], [0*A[1] + 2*B[0], 3*A[1] + 0*B[1]]])

然后，我们可以定义求解混合纳什均衡的函数：

def solve_game(u_A, u_B):
    c = np.concatenate((u_B.flatten(), -u_A.flatten()))
    A_eq = np.concatenate((np.ones((1, 2)), -u_B.T, u_A.T),