自适应Simpson积分法
自适应Simpson积分法是一种用于数值积分的方法，通过将积分区间划分为若干个子区间，并在每个子区间上应用Simpson公式来近似计算积分值。相较于传统的定步长Simpson方法，自适应Simpson方法可以根据积分函数的特性自动调整步长，从而提高积分的准确度。
Simpson积分公式
在介绍自适应Simpson积分法之前，我们先来了解一下Simpson积分公式。Simpson积分公式是通过使用三次多项式来近似函数曲线的方法。对于积分区间[a, b]上的函数f(x)，Simpson积分公式可以表示为：
∫[a, b] f(x) dx ≈ h/3 * (f(a) + 4f(a+h) + 2f(a+2h) + ... + 4f(b-h) + f(b))
其中，h为步长，即将积分区间[a, b]划分为n个子区间时，每个子区间的长度为h。
自适应Simpson积分法的原理
自适应Simpson积分法的核心思想是通过递归地将积分区间划分为更小的子区间，然后在每个子区间上应用Simpson公式来计算积分的近似值。具体步骤如下：
- 初始化整个积分区间[a, b]上的积分近似值为0。
- 将积分区间[a, b]划分为两个子区间，分别计算每个子区间上的积分近似值。这可以通过将Simpson公式应用于每个子区间来实现。
- 计算两个子区间上积分近似值之和，得到整个积分区间[a, b]上的新的积分近似值。
- 检查新的积分近似值与之前的近似值之间的差异。如果差异小于预设的阈值，则认为积分近似值已经收敛，将当前积分近似值作为最终的积分结果；否则，将积分区间划分更细，并重复步骤2至4。
- 返回最终的积分结果。
自适应Simpson积分法的代码实现
下面是使用Python编写的自适应Simpson积分法的示例代码：
def adaptive_simpson(f, a, b, eps):
c = (a + b) / 2.0
h = b - a
fa = f(a)
fb = f(b)
fc = f(c)
s = (h / 6.0) * (fa + 4 * fc + fb)
def recurse_simpson(f, a, b, eps, s):
c = (a + b) / 2.0
h = (b - a) / 2.0
d = (a + c) / 2.0
e = (c + b) / 2.0
fd = f(d)
fe = f(e)
s_left = (h / 6.0) * (fa + 4 * fd + fc)
s_right = (h / 6.0) * (fc + 4 * fe + fb)
s_total = s_left + s_right
if abs(s_total - s) <= 15 * eps:
return s_total + (s_total - s) / 15
else:
return recurse_simpson(f, a, c, eps / 2, s_left) + recurse_simpson(f, c, b, eps / 2, s_right)
return recurse_simpson(f, a, b, eps, s)
在上述代码中，f是待积分的函数，a和b是积分区间的上下限，eps是收敛阈值。函数首先计算整个积分区间[a, b]上的初始积分近似值s，然后通过
