Python 实现杨辉三角
杨辉三角，又称帕斯卡三角，是一种深受数学家青睐的数字排列。从简单的几何形状中，我们不仅能观察到数字间的关系，还能发现许多有趣的数学性质。本文将介绍杨辉三角的基本概念，并展示如何使用 Python 来实现和生成杨辉三角。
杨辉三角的定义
杨辉三角的构造方式非常简单：
- 第一行是一个数字
1。 - 接下来每一行的第一个和最后一个数字都是
1。 - 其余位置的数字是它上方两数之和。
例如，前五行的杨辉三角可以表示如下：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
从上面的结构可以看到，第三行的 2 是第二行 1 和 1 的和，而第四行的 3 正是第三行的 1 和 2 的和。
杨辉三角的性质
- 对称性：每一行的数字是对称的。
- 和的特性：第
n行的数字和为2^n。 - 组合数：第
n行第k列的数字等于组合数 C(n, k)，可表示为n! / (k!(n-k)!)。
Python 实现杨辉三角
现在，我们将用 Python 实现生成杨辉三角的功能。这段代码将生成前 n 行的杨辉三角，并以列表的形式输出每一行。
def generate_pascals_triangle(n):
triangle = []
for i in range(n):
row = [1] * (i + 1) # 每行开始时设置所有元素为1
for j in range(1, i):
row[j] = triangle[i-1][j-1] + triangle[i-1][j] # 计算中间的元素
triangle.append(row)
return triangle
n = 5 # 输出前 5 行
triangle = generate_pascals_triangle(n)
for row in triangle:
print(row)
代码讲解
- 初始化：首先定义一个空列表
triangle，用来存储每一行的数字。 - 循环构建：外层循环控制行数，通过
range(n)生成n行。 - 内层初始化：每一行用于存储数据的
row列表首先全部设置为1。 - 计算中间项：对于每一行的中间数字，根据上面两行的相应位置计算。
- 保存结果：将生成的行添加到
triangle列表中。
输出结果
运行上面的代码，输出将会是：
[1]
[1, 1]
[1, 2, 1]
[1, 3, 3, 1]
[1, 4, 6, 4, 1]
这样我们就可以清晰地看到前五行的杨辉三角。
关系图
为了更好地理解杨辉三角的结构，这里用 Mermaid 绘制了一张简单的示意图：
erDiagram
TRiangle {
INTEGER rowId
INTEGER columnId
INTEGER value
}
TRiangle ||--o{ Value: contains
上面的图展示了杨辉三角的每一行和列结构，行和列的交点是对应的值。
总结
杨辉三角不仅是一个美丽的数学模型，更是数学与计算机科学连接的桥梁。通过简单的 Python 代码，我们能迅速生成数十行的杨辉三角，体验到算法的魅力与计算的乐趣。研究杨辉三角的性质，更是能够让我们深入了解组合数学及其应用。
你可以根据需要调整参数n，生成不同数量的行，探索更深奥的规律，或进一步拓展此代码，例如添加函数来计算第n行第k个元素的值和统计整个三角形的和。希望本文能够激发你对数学和编程的热情，欢迎你进一步探索更多的数学乐趣！
