素数及其在 JavaScript 中的应用
素数是指大于1的自然数中，除了1和本身以外，没有其他因数的数。素数是数论中重要的概念，在密码学、计算机科学等领域有广泛的应用。本文将介绍素数的定义、判断方法，并通过 JavaScript 代码示例展示如何判断一个数是否为素数。
1. 素数的定义
素数是指大于1的自然数，除了1和本身以外，没有其他因数的数。例如，2、3、5、7等都是素数，而4、6、8等都不是素数。数学上，素数的定义可以用如下公式表示：
$$\forall n > 1, \nexists p: 1 < p < n \quad \text{and} \quad p , \text{divides} , n$$
其中，$n$是大于1的自然数，$p$是$n$的因数。
2. 判断素数的方法
判断一个数是否为素数有多种方法，常见的有试除法和素数筛选法。
2.1 试除法
试除法是最直观和简单的判断素数的方法之一。它的基本思想是，对于一个大于1的数$n$，从2开始，逐个除以小于$n$的自然数，如果能整除，则$n$不是素数；否则，$n$是素数。
我们可以通过代码来实现试除法：
// 判断一个数是否为素数
function isPrime(number) {
if (number <= 1) {
return false;
}
for (let i = 2; i < number; i++) {
if (number % i === 0) {
return false;
}
}
return true;
}
// 测试示例
console.log(isPrime(2)); // true
console.log(isPrime(4)); // false
console.log(isPrime(7)); // true
console.log(isPrime(9)); // false
在上述代码中，我们首先判断数是否小于等于1，如果是，则直接返回false。然后，从2开始逐个除以小于该数的自然数，如果存在能整除的数，则返回false；否则，返回true。通过测试示例，我们可以看到2、4、7和9的素数判断结果分别为true、false、true和false。
2.2 素数筛选法
素数筛选法是一种高效的判断素数的方法，常用的有埃拉托斯特尼筛法和欧拉筛法。这两种方法的基本思想都是通过逐步筛选来找出素数。
埃拉托斯特尼筛法的核心思想是从2开始，将所有能整除2的数标记为合数，然后再从最小的未标记数开始，重复这个过程，直到所有的数都被标记为合数或素数。最终，剩下的未被标记的数就是素数。
我们可以使用以下代码实现埃拉托斯特尼筛法：
// 筛选出小于等于n的素数
function sieveOfEratosthenes(n) {
const isPrime = new Array(n + 1).fill(true);
isPrime[0] = false;
isPrime[1] = false;
for (let i = 2; i <= Math.sqrt(n); i++) {
if (isPrime[i]) {
for (let j = i * i; j <= n; j += i) {
isPrime[j] = false;
}
}
}
const primes = [];
for (let i = 2; i <= n; i++) {
if (isPrime[i]) {
primes.push(i);
}
}
return primes;
}
// 测试示例
console.log(sieveOfEratosthenes(10)); // [2, 3, 5, 7]
console.log(sieveOfEratosthenes(20)); // [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19]
在上述代码中，我们首先创建一个布尔数组isPrime，用于标记每个
