一、背景

熵是热力学中的一个重要的概念，最早是由香农(Claude Shannon)将熵应用于信息的度量。

熵(Entropy)是描述事物无序性的一个重要的参数，熵越大则无序性越强，同时，熵表示一个随机变量的不确定性。

二、熵

1、信息熵

香农指出，一条信息的信息量和它的不确定性之间有着直接的关系。因此可以使用信息熵来描述信息量的多少。

信息熵的定义为：设一个随机变量X，其可能的m种取值为x1,x2,⋯,xm，对于每一种取值的概率为：p1,p2,⋯,pm，那么随机变量X的不确定度，即信息熵，用H(X)表示：



H(X)=∑i=1mpilog21pi=−∑i=1mpilog2pi

信息熵表示的是随机变量X可能的变化，若随机变量的变化越多，那么其信息量越大。而与随机变量的具体取值无关，只与其值的类别以及每种类别的概率有关。

2、条件熵

条件熵(Conditional Entropy)的定义为：设两个随机变量X，Y，在X已知的前提下，Y的熵，定义为Y的条件熵，用H(Y∣X)表示：



H(Y∣X)=−∑xi,yjm,np(xi,yj)log2p(yj∣xi)

对于上述的条件熵的定义，可由下面的推理得到：



H(Y∣X)=p(x1)⋅H(Y∣X=x1)+⋯+p(xm)⋅H(Y∣X=xm)=∑i=1mp(xi)⋅H(Y∣X=xi)=−∑i=1mp(xi)⋅⎛⎝∑j=1np(yj∣xi)⋅log2p(yj∣xi)⎞⎠=−∑i=1m∑j=1np(yj,xi)⋅log2p(yj∣xi)=−∑xi,yjm,np(xi,yj)log2p(yj∣xi)

3、联合熵

联合熵和联合分布的概念类似，联合熵指的是多个随机变量的熵。联合熵的定义为：设两个随机变量X，Y，p(xi,yj)表示联合概率，则联合熵表示的是随机变量X和Y共同携带的信息量，用H(X,Y)表示：



H(X,Y)=−∑xi,yjm,np(xi,yj)log2p(xi,yj)

其中，条件熵，联合熵和熵之间的关系为：



H(Y∣X)=H(X,Y)−H(X)

对于上式的证明如下：



H(X,Y)−H(X)=−∑xi,yjm,np(xi,yj)log2p(xi,yj)+∑i=1mp(xi)log2p(xi)=−∑xi,yjm,np(xi,yj)log2p(xi,yj)+∑i=1m⎛⎝∑j=1np(xi,yj)⎞⎠⋅log2p(xi)=−∑xi,yjm,np(xi,yj)⋅(log2p(xi,yj)−log2p(xi))=−∑xi,yjm,np(xi,yj)log2p(yj∣xi)=H(Y∣X)

对于联合熵，有一些性质，如下所示：

  • H(X,Y)⩾H(X)
  • H(X,Y)⩽H(X)+H(Y)
  • H(X,Y)⩾0

4、相对熵

相对熵，又称为交叉熵或者KL距离或者KL散度。主要是用来度量两个概率分布之间的差异程度。假设两个概率分布 P(x)和Q(x)，用D(P∥Q)表示两个分布之间的KL散度：



D(P∥Q)=∑x∈XP(x)⋅log2P(x)Q(x)

当两个分布完全相同时，此时KL散度为0。

三、互信息

KL距离衡量的是相同的事件空间里的两个事件的相似程度，而互信息衡量的是不同事件空间中的两个信息的相关性。设两个随机变量X和Y，互信息为I(X,Y)：



I(X,Y)=∑i=1m∑j=1np(xi,yj)⋅log2p(xi,yj)p(xi)p(yj)

互信息就是随机事件X的熵H(X)，以及在给定随机变量Y的条件下的条件熵H(X∣Y)之间的差异，即：



I(X,Y)=H(X)−H(X∣Y)

由上述的定义可知，互信息与信息增益等价。

参考文献

  • 数学之美