乘法逆元
（一）、定义。
对于正整数
和
，如果有
，
那么把这个同余方程中
的最小正整数解叫做
模
的逆元。
个人理解：
在一些题目中，经常因为数据过大，题目要求结果要模除一个数，常见的mod=1e9+7 （素数）
有时候，代码运算过程中会用到除法，而所有数据都已经模除了mod，导致除法可能会失真。
比如在mod=14的情况下，我要求25/5的值（理应是5），但是这里的25早已经不是25，
而是25%mod=11,
这时候得到的值其实是11/5=2，已经不是正确值5了。
这种时候乘法逆元就横空出世了。。
先声明，我要求的 a/b 是在整数范围内进行的，也就是b能整除a，乘法逆元才适用
意义：
上面的例子中，a=25，b=5.a/b=5。而mod=14，a在模除了mod之后再计算a/b的结果是错的。
有逆元的前提是，b和mod是互质的。
想得到正确结果，假设b关于mod的逆元为inv。
那么：
a/b = (a*inv)%mod;（公式，不做证明了）
也就是把a除以一个数，化作了a乘以一个数。
b和inv的关系是 (b*inv)%mod=1;是不是有点像倒数
（二）、求逆元的方法。
1、拓展欧几里得
求b关于mod的逆元。
由于b与mod互质，即最大公约数为1。那么对于 b*x + mod*y = 1
存在一个最小的正整数x，这个x就是b关于mod的逆元
拓展欧几里得个人总结：点击打开链接
求b关于mod的逆元：
#include<stdio.h>
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;y=0;
return a;
}
int d=exgcd(b,a%b,y,x);
y=y-a/b*x;
return d;
}
int inv(int b,int mod)//求b关于mod的逆元
{
int x,y;
exgcd(b,mod,x,y);
return (x%mod+mod)%mod;
}
int main()
{
int b, mod=14;
while(~scanf("%d",&b))
{
printf("b关于mod的逆元:%d\n",inv(b,mod));
}
return 0;
}2、费马小定理
在mod是素数的情况下，对任意整数 b 都有bp≡b(mod)p
即如果b无法被mod整除，则有 （b的（mod-1）次幂）%mod=1
（b * b的mod-2次幂）%mod=1；
所以b的mod-2次幂%mod，就是b关于mod的逆元
上面这串话，我理解不了。
反正公式就是：
b关于mod的逆元 inv = （b的mod-2次幂）%mod；
求b关于mod的逆元（mod必须是素数才可以）
#include<stdio.h>
int qpow(int x,int m,int mod)//快速幂，求x的m次方
{
int ans=1;
while(m)
{
if(m%2)
ans=(ans*x)%mod;
x=(x*x)%mod;
m=m/2;
}
return ans;
}
int inv(int b,int mod)//求b关于mod的逆元
{
return qpow(b,mod-2,mod);
}
int main()
{
int b, mod=17;
while(~scanf("%d",&b))
{
printf("b关于mod的逆元:%d\n",inv(b,mod));
}
return 0;
}3、递归求乘法逆元（应用了4、里面的递推公式）
#include<stdio.h>
const int mod=17;
int inv(int b,int mod)
{
if(b==1)return 1;
return (mod-mod/b)*inv(mod%b,mod)%mod;
}
int main()
{
for(int i=1;i<mod;i++)
printf("%d关于mod的逆元:%d\n",i,inv(i,mod));
}4、递推求逆元。求1~mod-1之间所有数的逆元，递推公式。
（1）方法：
初始化1的逆元为1，即inv [ 1 ] = 1 , 正序递推。
inv [ i ] = (mod - mod/i)*inv[ mod%i ] %mod;
#include<stdio.h>
int main()
{
int mod=17, Inv[100];
Inv[1]=1;
for(int i=2;i<mod;i++)
Inv[i]=(mod-mod/i)*Inv[mod%i]%mod;
for(int i=1;i<mod;i++)
printf("%d关于mod的逆元:%d\n",i,Inv[i]);
}
（2）拓展一种求1~n！之间的数关于mod的逆元的递推（！表示阶乘）
方法：
先求出（mod-1）！的逆元，倒序递推。
inv [ i ] = (inv [ i+1 ]*(i+1))%mod;
原理不会。
#include<stdio.h>
int qpow(int x,int m,int mod)//快速幂，求x的m次方
{
int ans=1;
while(m)
{
if(m%2)
ans=(ans*x)%mod;
x=(x*x)%mod;
m=m/2;
}
return ans;
}
int inv(int b,int mod)//求b关于mod的逆元
{
return qpow(b,mod-2,mod);
}
int fac(int t)
{
if(t==1)return 1;
return t*fac(t-1);
}
int main()
{
int mod=17, Inv[100];
Inv[mod-1]=inv(fac(mod-1),mod);//fac表阶乘，可以提前打表
for(int i=mod-2;i>0;i--)
Inv[i]=(Inv[i+1]*(i+1))%mod;
for(int i=1;i<mod;i++)
printf("%d关于mod的逆元:%d\n",fac(i),Inv[i]);
}
