理论推导
机器学习所针对的问题有两种:一种是回归,一种是分类。回归是解决连续数据的预测问题,而分类是解决离散数据的预测问题。线性回归是一个典型的回归问题。其实我们在中学时期就接触过,叫最小二乘法。
线性回归试图学得一个线性模型以尽可能准确地预测输出结果。
先从简单的模型看起:
首先,我们只考虑单组变量的情况,有:
使得
假设有m个数据,我们希望通过x预测的结果f(x)来估计y。其中w和b都是线性回归模型的参数。
为了能更好地预测出结果,我们希望自己预测的结果f(x)与y的差值尽可能地小,所以我们可以写出代价函数(cost function)如下:
接着代入f(x)的公式可以得到:
不难看出,这里的代价函数表示的是预测值f(x)与实际值y之间的误差的平方。它对应了常用的欧几里得距离简称“欧氏距离”。基于均方误差最小化来求解模型的方法我们叫做“最小二乘法”。在线性回归中,最小二乘法实质上就是找到一条直线,使所有样本数据到该直线的欧式距离之和最小,即误差最小。
我们希望这个代价函数能有最小值,那么就分别对其求w和b的偏导,使其等于0,求解方程。
先求偏导,得到下面两个式子:
很明显,公式中的参数m,b,w都与i无关,简化时可以直接提出来。
另这两个偏导等于0:
求解方程组,解得:
这样根据数据集中给出的x和y,我们可以求出w和b来构建简单的线性模型来预测结果。 接下来,推广到更一般的情况:
我们假设数据集中共有m个样本,每个样本有n个特征,用X矩阵表示样本和特征,是一个m×n的矩阵:
用Y矩阵表示标签,是一个m×1的矩阵:
为了构建线性模型,我们还需要假设一些参数:
(有时还要加一个偏差(bias)也就是
, 为了推导方便没加,实际上结果是一样的) 好了,我们可以表示出线性模型了:
h(x)表示假设,即hypothesis。通过矩阵乘法,我们知道结果是一个n×1的矩阵。
跟前面推导单变量的线性回归模型时一样,列出代价函数:
这里的1/2并无太大意义,只是为了求导时能将参数正好消掉而加上。
代价函数代表了误差,我们希望它尽可能地小,所以要对它求偏导并令偏导数为0,求解方程。
在求偏导之前先展开一下:
接下来对
求导,先给出几个矩阵求导的公式:
对代价函数
求关于
的偏导,并令其等于0。 求偏导。
套用前面给出的矩阵求导公式。
最后化简得到:
好了,另这个偏导数等于0:
解得:
OK,推导完毕。
把知识点梳理一遍发现清楚了很多。写公式真的很累,明天再把线性回归的代码补上。
(ง •̀_•́)ง