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高斯部分主元消元法

高斯列主元消元法

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 高斯部分主元消去法：

原理:将线性方程组的系数即为矩阵A(n,n),对应的值即为 B(n,1),记增广矩阵C为（A，B)；

第一步:找出系数中绝对值最大的元素，将其交换到C（1，1）,通过线性运算，使得第一列C(1,1)下面的元素都消为0；

第二步：找出除第一行第一列元素，系数中绝对值最大的元素，将其交换到C（2，2），通过线性运算，使得第二列C（2，2）下面的元素全部消为0；并以此类推，得到一个上三角矩阵；

注意：在高斯全主元消元时，可能交换了列，再得到上三角后，需要将列交换回来；

例：

%高斯主元消去法
clc;
clear;
close all;
A=[1 2 3;5 4 10;3 -0.1 1];%输入矩阵系数
B=[1;0;2];
C=[A B];
[m,n]=size(C); %计算出增广矩阵的行数和列数
%找主元->消去—>找主元->消去
%高斯主元消元法会更改列数，需要记录下来，消元完毕后再改回来；
%生成一个行向量r来记录列数的更改；
r=1:m
H=m;L=n;
for q=1:m-1
 %找出主元
 max=0;   
for i=q:H
    for j=q:L-1
     if(abs(C(i,j))>max)
         max=abs(C(i,j));
         a=i;
         b=j;%利用a,b来记录最大值的位置，方便后续的交换位置；
       
     end
    end
    
end

%将主元换至第q行第q列
C([q,a],:)=C([a,q],:);%交换第q行和最大值所在的第a行
C(:,[q,b])=C(:,[b,q]);%交换第q列和最大值所在的第b列
%r记录列的更换
r(:,[q,b])=r(:,[b,q]);%交换第q列和最大值所在的第b列
disp(C(q,q));
disp(C);
%消元过程,消去主元下面一列
for k=q+1:m
   temp=C(q,q)/C(k,q);
   for d=1:n
  C(k,d)=temp*C(k,d)-C(q,d);
    end
end
disp(C);
end
disp(r(2));

%反带回方程式
x=zeros(1,m)%生成1行m列的0矩阵
for s=m:-1:1;
    x(s)=C(s,n);
    for t=1:m-s;
     x(s)=x(s)-C(s,n-t)*x(m+1-t);
     %disp(C(s,n-t));
    end
    x(s)=x(s)/C(s,s);
end
%将更换的列更改回来,按照r给定的顺序重新排列
for l=1:m
 X(r(l))=x(l); 
end
disp(X);

 运行结果：

 可以解得：x1=1.200 x2=2.00 x3=-1.40

高斯列主元消元法：

原理：将线性方程组的系数即为矩阵A(n,n),对应的值即为 B(n,1),记增广矩阵C为（A，B)；

 第一步：找出第一列绝对值最大的元素，将其换到C（1，1),通过线性运算使得第一列C（1，1)下所有元素都消为0； 

第二步：找出第二列绝对值最大的元素，将其换到C（2，2),通过线性运算使得第一列C（2，2）下所有元素都消为0；并以此类推：

例：

%高斯列主元消元法
clc;
clear;
close all;
A=[1/4 1/5 1/6;1/3 1/4 1/5;1/2 1 2];%输入矩阵系数
B=[9;8;8];

C=[A B];
[m,n]=size(C); %计算出增广矩阵的行数和列数
H=m;L=n;

%找出第一列中最大元素->消元—>找出第二列中最大元素—>消元...


    for i=1:n-2%第i列
        max=0;
        for j=i:m%第j行
            if(abs(C(j,i))>max)
                max=abs(C(j,i));
                a=i;%记录i列中最大在第a列
                b=j;%记录i列中最大在第b行
            end
        end
        disp(max);
    %找到一列中最大元素后，交换位置
 C([i,b],:)=C([b,i],:);%交换第i行和最大值所在的第b行使得列最大元素在C（i，i）；
disp(C);
%消元
for k=i+1:m
    temp=C(i,i)/C( k,i)
  for d=1:n
  C(k,d)=temp*C(k,d)-C(i,d);
    end
end  
disp(C);
    end
 
    %反带回方程
x=zeros(1,m)%生成1行m列的0矩阵   
x=zeros(1,m)%生成1行m列的0矩阵
for s=m:-1:1;
    x(s)=C(s,n);
    for t=1:m-s;
     x(s)=x(s)-C(s,n-t)*x(m+1-t);
     %disp(C(s,n-t));
    end
    x(s)=x(s)/C(s,s);
end
disp(x);

 运行结果：

 x1=-227.0769 x2=476.9231 x3=-177.6923