上篇讲了nearest-neighbor(最近邻插值)。这篇说cubic interpolation(三次插值)，之前说过，插值就是用已知的点模拟一个方程，然后求未知点。之前讲的插值是线性的。cubic interpolation就是求一个三次的方程。它的思想就是把已知的数分为一个一个小区间，人拟合到曲线上去。就是一个多分段函数高阶函数（此处的阶数为3）。给一个文档上的图可能比较清楚。
把区间[a,b]分为n个区间[x0,x1],[x1,x2].....[xn-1,xn]共有n+1个点。其中x0=a，xn=b。把函数定义为
如果满足一下三个条件，我们就称之为三次样条函数
(x)1，在每个分段小区间 [xi,xi+1] 上，
(x)=
(x)是一个三次方程2，满足插值条件，即
3, 曲线光滑，即 一阶，二阶导存在且连续
现在就是求目标就是求每一段的4个未知数。一共有n段所以有4n个未知数。那么我们需要4n个方程。现在我们就开始列这些方程
首先 在区间[xi,xi+1]上
,在区间[xi+1,x+2]中
。共有n-1个区间，所以有2(n-1)个方程，加上两个端点就有2个方程。其实简单的想就是n个区间[x0,x1],[x1,x2].....[xn-1,xn]共有n+1个点。每个点用了两次，2(n+1),但是第一个点和最后一个点只用了一次，所以减二。所以为2n。 还差2n个方程，现在就是每一个连接点处的一阶导和二阶导是相等的。
,
。这里有2(n-1)个方程。现在我们还差2个方程。
有3种边界条件：
1 自然边界： 指定端点二阶导数为0，
2 固定边界：假设两个边界值分别为A和B，
3 非节点边界：强制第一个插值点的三阶导数值等于第二个点的三阶导数值，最后第一个点的三阶导数值等于倒数第二个点的三阶导数值.
好我们四个方程就全部列完了。现在就开始求解吧。
1 用
得出
2 用
由
得出
3 用
可得
因为
，所以
4 用
得出
设
，由
，得出
5 由
，
，
得出
6 因为
，所以
,把
代入其中。
得出
经过上面的6步后，我们构成了关于m的未知线性方程。
我们分别适应，前面边界条件的三种
1 自然边界头尾的边界值都为0，首尾两端没有受到任何让它们弯曲的力。二阶导数为0，于是看把
和
写成矩阵相乘的形式。
（mi表示的是二阶求导）和
都等于0，把矩阵写成：
2 固定边界
系数矩阵为
3 当为 非节点边界时，同理可得系数矩阵为：
好了这个就是三次插值，总的来说就是求一个在三阶函数的点，用已知的点来划分区域，形成分段多阶函数。求4n个未知数。列4n个方程，最后用矩阵表示。下一篇讲bicubic interpolation。
