FFT物理意义

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换
到频域。从而分析信号的频域特征。常用于频谱分析。

时域信号直接通过ADC进行采样获得。

采样要点

  • 采样频率要大于信号频率的两倍
  • N个采样点，经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方。

结果意义

  • 采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。
  • 假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。
  • 频率点对应FFT结果复数的夹角下的信号的相位。
  • 第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N + 1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被N - 1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn = (n - 1) * Fs / N。Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz，每一点为1Hz。注意到0Hz是第一个点并非坐标原点如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和采样时间是倒数关系。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。具体的频率细分法可参考相关文献。

总结

假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)，范围从-pi到pi。根据以上的结果，就可以计算出n点对应的信号的表达式为：

n = 1
	A1 / N

n ≠ 1，且n <= N / 2
	An / (N / 2) * cos(2 * pi * Fn * t + Pn)
即
	2 * An / N * cos(2 * pi * Fn * t + Pn)。

实例

表达式

S = 2                                           // ①
  + 3.0 * cos(2 * pi * 50 * t - pi * 30 / 180)  // ②
  + 1.5 * cos(2 * pi * 75 * t + pi * 90 / 180)  // ③

信号① 2V的直流分量
信号② 频率50Hz、相位-30度、幅度3.0V的交流信号
信号③ 频率75Hz、相位+90度、幅度1.5V的交流信号

采样

采样频率 256Hz
采样点数 256点

根据Fn = (n - 1) * Fs / N，第n个点的频率就是n - 1。可以知道三个信号分别在第1个点、第51个点、第76个点上出现峰值。其它各点应该接近0。

FFT计算

1点： 512         + 0i
2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i 
3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i

50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51点：332.55      - 192i
52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i

75点：-2.2199E-13 - 1.0076E-12i
76点：3.4315E-12  + 192i
77点：-3.0263E-14 + 7.5609E-13i

计算幅度

根据An=根号a*a+b*b计算模值

1点： 512 = 根号(512 * 512 + 0 * 0)
51点： 384 = 根号(332.55 * 332.55 + 192 * 192)
76点： 192 = 根号((3.4315E-12) * 3.4315E-12) + 192 * 192)

根据

n = 1
	A1 / N
	
n ≠ 1，且n <= N / 2
	An / (N / 2) * cos(2 * pi * Fn * t + Pn)
即
	2 * An / N * cos(2 * pi * Fn * t + Pn)。

可以计算幅度

1点： 2.0 = A1 / N       = 512 / 256
51点： 3.0 = An / (N / 2) = 384 / ( 256 / 2)
76点： 1.5 = An / (N / 2) = 192 / ( 256 / 2)

计算相位

根据Pn=atan2(b,a)计算弧度相位

1点： 直流分量没有相位
51点： atan2(-192, 332.55)    = -0.5236
76点： atan2(192, 3.4315E-12) = 1.5708

转换成角度

51点： 180 * (-0.5236) / pi = -30.0001
76点： 180 * (1.57080) / pi = +90.0002

参考文章Matlab例程

close all;        %先关闭所有图片
Adc=2;            %直流分量幅度
A1=3;             %频率F1信号的幅度
A2=1.5;           %频率F2信号的幅度
F1=50;            %信号1频率(Hz)
F2=75;            %信号2频率(Hz)
Fs=256;           %采样频率(Hz)
P1=-30;           %信号1相位(度)
P2=90;            %信号相位(度)
N=256;            %采样点数
t=[0:1/Fs:N/Fs];  %采样时刻

%信号
S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);

%显示原始信号
plot(S);
title('signal');

figure;
Y = fft(S,N);                 %做FFT变换
Ayy = (abs(Y));               %取模
plot(Ayy(1:N));               %显示原始的FFT模值结果
title('Frequency spectrum');

figure;
Ayy=Ayy/(N/2);                %换算成实际的幅度
Ayy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N;             %换算成实际的频率值
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2));    %显示换算后的FFT模值结果
title('Amplitude-frequency');

figure;
Pyy=[1:N/2];
for i=1:N/2
 Pyy(i)=phase(Y(i));          %计算相位
 Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi;        %换算为角度
end;
plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2));    %显示相位图
title('Phase, frequency');

个人Matlab例程

待完成

Freq  = 1000;
Fs    = 44100;
N     = 44100;

t = linspace(0, 1, N);
x = sin(2 * pi * Freq * t);
y = fft(x);

subplot(2, 2, 1);
Crycle3N = ((3 / Freq) * Fs) + 1;
plot(1000 * t(1 : Crycle3N), x(1 : Crycle3N), "LineWidth", 3);
grid;
title('Frequency spectrum');
xlabel("Time in milliseconds");
ylabel("Signal amplitude");

subplot(2, 2, 2);
plot(abs(y(1 : (N / 2))), "LineWidth", 3);
grid;
xlabel("Frequency");
ylabel("Signal amplitude");