在初中课程中，二次函数常常作为数形结合的综合题目。
以下是其基本概念和图像上特殊点。
常见三种形式。
- 一般式：
- 顶点式：
- 两根式：
（其中两根式当二次函数和x轴没有交点的时候不存在，此时可以采用更为一般的 对称点式
，相当于函数
和直线y=m的两个交点，m为足够大的数）
其中出现过的字母有
a：二次项系数，在三个表达式中都出现过。代表开口大小。
b：一般式的一次项系数。
c：常数项系数
h：顶点式中顶点x坐标
k：顶点式中顶点y坐标
（此处会注意到为什么h前面是有负号，而k前面没有，如有疑惑，请看下面链接）
yi zhang：初中数学--函数平移为什么是左加右减，上加下减zhuanlan.zhihu.com
x_1: 两根式其中一个根
x_2：两根式其中另一个根
以下我以开口向上且和x轴有两个根的二次函数为例，介绍下三个表达式的联系以及适用范围。
如下图为例子：
（实际函数为一般式：
或者写成顶点式：
两根式:
)
我们先认为
那么可以得到几个点的坐标。
在此可以注意到，
- 三个式子里面都有a。
2. b未出现，c是和y轴交点坐标属于一般式的。
3. h，k是属于顶点式的。（h，k）就是顶点坐标。
4.
是属于两根式的。分别是和x轴的两个交点。
但既然同一个二次函数可以用三种方式来表达。那么很显然，三者之间必定存在关系，以及能够相互转化。
（其实上面说法不准确，对于和x轴没有交点的无法采用两根式）
- 一般式和顶点式
将一般式化成顶点式（这是任何情况下都成立的）
通过对比
可以发现
2. 一般式和两根式
由，
令y=0
就能得到一元二次方程的求根公式
按照前面的预设
那么
通过简单的加减就能得到
(其中1，3式就是韦达定理）
或者将
开括号
也能对比出
3. 顶点式和两根式
从上面的
以及
可以看出，
当然也可以直观的从函数图形上得到。
二次函数的对称轴就是
连线的中点。
接下来对于顶点的纵坐标就并不那么直观了。
从代数上，我们观察下面两个式子。
能够发现
也就是k等于a/4*两根之间距离的平方的相反数。
我们也可以从几何上直观的看出来
还是以
为例，
显然任意一个根到对称轴的距离为
，因为抛物线任意平移形状不变。也就是我可以将任意抛物线平移后得到形如
，例如
,
横纵坐标保持着，纵坐标=1/2*横坐标的平方关系
而其实这种平方关系存在于任意的抛物线，只要是对称轴上点就有的性质，即使和x轴没有交点，取一个尽可能大的数值，总能和抛物线相交两点。
我在对称轴上取一点H （对于这开口向上的抛物线，H点要在顶点上方）过H做直线平行x轴，交抛物线于D，E两点。
任意移动H点，可以发现
在来一个
的二次函数试下。
比如
当BD=8.44时候，DC=23.75=8.44*8.44/3
当BD=5.24时候，DC=9.14=5.24*5.24/3
上述总结，对于任意抛物线来说，抛物线上点的到对称轴的距离的平分*a=这个点和顶点之间的纵坐标之差。
