1. 问题描述
给定先把图 G(V,E)，用动态规划的算法求一条从起点到终点的路径，使这条路径上经过的所 有边的权重之和最小。
2. 算法描述
2.1 动态规划描述
动态规划是一种用来解决一类最优化问题的算法思想，将一个复杂的问题分解成若干个子问 题，通过综合子问题的最优解来得到原问题的最优解。动态规划会将每个求解过的子问题的 解记录下来，这样下一次碰到同样的子问题时，就可以直接使用之前记录的结果。
在动态规划中，我们通常使用两种办法来求解：递推的自底向上办法(Bottom-up) 和递归的 自顶向下办法(Top-down)，在本题我们采用递推的自底向上办法。
在最短路径问题中，我们首先要找到路径图中的拓扑排序顺序，作为递推的顺序。因为只有 知道当前节点所有入度节点的路径最大值，我们才能知道该节点的状态最优解。
2.2 拓扑排序
下面是拓扑排序的算法：
- 定义一个队列 Q，并把所有入度为 0 的节点加入序列。
- 取队列首节点，输出。然后删去所有从它出发的边。并另这些边到达顶点的入度减 1，如
果某个顶点的入度减为 0，则将其加入队列。 - 反复进行步骤 2，直到队列为空。
当前节点 0 的入度为 0，将该节点加入序列中。用 S 记录下拓扑排序的顺序。S = [0]
删除从节点 0 出发的所有边
当前入度为 0 的节点为节点 1 和节点 6，将这两个节点加入序列并依次执行步骤 2 操作。 S=[0,6,1]
在当前的路径图中，节点 3 的入度为 0，加入队列，并执行步骤 2。S=[0，1，6，3]
将顶点 2 加入序列，并执行步骤 2。S=[0,1,6,3,2]
当前顶点 5 是入度为 0 的顶点，将其加入队列并执行步骤 2。S=[0,1,6,3,2,5]
顶点 4 是入度为 0 的节点，将其加入队列，并执行步骤 2。S=[0,1,6,3,2,5]
到达节点 7，将终点加入 S，S=[0,1,6,3,2,5,7]，我们得到了拓扑排序的顺序
2.3 递推(Bottom-up Approach)
在得到拓扑排序 S=[0,1,6,3,2,5,7]后，我们使用动态规划的递推方法来得到该路径图从起点 到终点的最短路径。
在当前节点中考虑该节点所有入度的情况，比较上一跳最短路径加上上一跳到该节点的路径 长度的和与其他节点指向该节点的最短路径的长的大小。我们可以得到下面的表格。
3. 实验代码
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import copy
#拓扑排序
def topological_order(paths,indegree):
tempindegree = copy.deepcopy(indegree)
order = []
for i in range(len(tempindegree)):
if tempindegree[i] == 0:
order.append(i)
num = 1
finalorder = []
while len(order) != 0:
u = order.pop()
finalorder.append(u)
if num == len(tempindegree):
print("拓扑排序：",finalorder)
return finalorder
for j in range(len(paths)):
if paths[j][0] == u:
v = paths[j][1]
tempindegree[v] = tempindegree[v] - 1
if tempindegree[v] == 0:
order.append(v)
num = num + 1
#print(order)
if __name__ == "__main__":
paths = [
#用邻接表存储下这张表
[0,1,5],
[0,6,3],
[1,2,2],
[1,3,1],
[2,4,7],
[2,5,3],
[3,2,1],
[3,4,2],
[3,5,1],
[4,7,1],
[5,4,2],
[5,7,5],
[6,2,2] ]
#存储每个节点的入度
indegree = [0,1,2,1,3,2,1,2]
finalorder = topological_order(paths,indegree)
#每个节点当前的最短路径长度和上一跳的节点
length = [0,0,0,0,0,0,0,0]
lastnode = [-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1]
for i in finalorder:
for j in range(len(paths)):
if i == paths[j][1]:
if length[i] != 0 and length[i] < (length[paths[j][0]] + paths[j][2]):
continue
else:
#print("节点：",i,"path:",length[paths[j][0]],",", paths[j][2])
length[i] = length[paths[j][0]] + paths[j][2]
lastnode[i] = paths[j][0]
print("节点当前走过的最短路径",length)
print("上一跳节点",lastnode)
shortestpath = []
index = len(lastnode) - 1
while index != 0:
shortestpath.append(index)
index = lastnode[index]
shortestpath.append(0)
shortestpath.reverse()
print("最短路径的长度：",length[-1])
print("最短路径：",shortestpath)4. 实验结果
成功运行代码后，我们得到了下面的实验结果。
这与我们的推论相符，实验成功。 在该问题中的最优子结构为每个节点相应的最短路径，使用拓扑排序我们肯定可以得到当前 节点所有入度情况并进行分析比较。通过记录下当前问题的最优子结构，我们可以避免重叠 问题的重复求解，这种动态规划的思想很好地提高了算法的效率。
参考和致谢
[1]胡凡,曾磊.算法笔记[M].机械工业出版社:北京,2016.7:390-392.
[2]【MIT 课程】动态规划 I-最短路径算法 https://www.bilibili.com/video/BV1Y441157H7
[3]漫画：什么是动态规划？(整合版) https://www.sohu.com/a/149075950_684445
