1. 概念
梯度下降法（Gradient Descent）又称最速下降法（Steepest descent）是一种常用的一阶优化方法，是一种用于求解无约束最优化问题的最常用的方法。它选取适当的初始值
，并不断向负梯度方向迭代更新
，实现目标函数的极小化，直到收敛。
2. 梯度下降的直观解释
以下山法作为类别，我们想要从山的某个位置下山，但我们并不知道山脚的位置，只能走一步算一步。从当前位置出发，往当前位置的负梯度方向走一步，即往最陡峭的方向往下走一步。然后继续求解当前位置的梯度，往负梯度方向走一步。不停走下去，一直走到我们认为已经到了山脚的位置。当然，也有可能，我们没办法到山脚，而是到了一个小山丘底部。
当目标函数是凸函数的时候，梯度下降法可以确保找到全局最优解；否则不一定能找到全局最优解，可能会陷入局部最优解。
3. 梯度下降法的原理
考虑最优化问题
，其中
具有一阶连续偏导数。若第
次迭代值为
，对
在
处进行一阶泰勒展开：
（1）
凸函数
的某一小段
由上图黑色曲线表示，可以利用线性近似的思想求出
的值，如上图红色直线。该直线的斜率等于
在
处的导数。则根据直线方程，很容易得到
的近似表达式为：
这就是一阶泰勒展开式的推导过程，主要利用的数学思想就是曲线函数的线性拟合近似。
其中，
是微小矢量，大小是步长
，类比于下山过程中的一步。
是标量，
的单位向量用
表示，则
可以表示为：
（2）
此时，（1）可以化为：
（3）我们希望每次迭代，都能使
变小，也就是说希望有：
（4）由于
是标量，且一般设定为正值，因此
可以忽略。由于
和
都是向量，根据向量的乘积公式可以将（4）转换为：
（5）当
和
反向时，
，可以使得
最小，且为负。即
的方向是使局部的目标函数下降最快的方向。得到
为：
（6）
以上解释了为什么局部下降最快的方向就是梯度的负方向。
将（6）中的最优解
代入（2）中，得到
的更新表达式为：
（7）由于
是标量，可以吸收入
里面，梯度下降算法的更新表达式就变成了：
（8）
以上就是梯度下降算法公式的数学推导过程。
4. 算法描述
输入：目标函数
、梯度函数
，计算精度
。输出：
的极小点
。（1）初始化相关参数。取初始值
，置迭代次数
.
（2）计算当前位置的目标函数 
（3）计算当前位置的目标函数的梯度
，则迭代结束，
。否则，继续往下走。（4）更新 
或者
，则停止迭代，令
。否则，将迭代次数置为
，转到（3）继续迭代。在机器学习中，目标函数
实际上就是代价函数
。
5. 梯度下降法种类
5.1 批量梯度下降法（Batch Gradient Descent，BGD）
批量梯度下降法是梯度下降法最常用的形式。每次更新参数要使用所有的样本进行计算。
假设目标函数为：
求偏导得：
批量梯度下降法的更新公式为：
5.2 随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent，SGD）
随机梯度下降法与批量梯度下降法类似。每次更新参数只使用随机的一个样本进行计算。
随机梯度下降法的更新公式为：
批量梯度下降法和随机梯度下降法的区别是什么？
（1）批量梯度下降法每次使用所有数据来更新参数，训练速度慢；
（2）随机梯度下降法每次只使用一个数据来更新参数，训练速度快；但迭代方向变化大，不一定每次都朝着收敛的方向，不能很快地收敛到局部最优解。
5.3 小批量梯度下降法（Mini-Batch Gradient Descent，MBGD）
小批量梯度下降法是批量梯度下降法和随机梯度下降法的一个折中。每次更新参数选择一小部分数据计算。
选择
个数据，
。
小批量梯度下降法的更新公式为：
6. 局部最优解解决方法
如第二节（梯度下降的直观解释）中描述的，如果目标函数具有多个局部极小值，不能保证找到的解是全局最优解。为了解决这一问题，常采用以下策略来试图跳出局部最优：
1. 以多组不同参数值进行初始化，这样有可能陷入不同的局部极小，从中进行选择有可能获得更接近全局最小的结果；
2. 使用“模拟退火”技术，在每一步都以一定概率接收比当前解更差的结果，有助于跳出局部极小；
3. 使用随机梯度下降，最小化每个样本的损失函数，而不是最小化整体的损失函数，虽然不是每次迭代得到的损失函数都朝着收敛的方向， 但是整体的方向是朝着全局最优解的，最终的结果往往是在全局最优解附近。
参考文献：
1.《 统计学习方法》附录A梯度下降法——李航
2. 为什么局部下降最快的方向就是梯度的负方向？
3. 梯度下降（Gradient Descent）小结
