EMD距离损失函数论文

什么是范数？

在线性代数以及一些数学领域中，norm 的定义是

a function that assigns a strictly positive length or size to each vector in a vector space， except for the zero vector. ——Wikipedia

简单点说，一个向量的 norm 就是将该向量投影到 [0, ) 范围内的值，其中 0 值只有零向量的 norm 取到。看到这样的一个范围，相信大家就能想到其与现实中距离的类比，于是在机器学习中 norm 也就总被拿来表示距离关系：根据怎样怎样的范数，这两个向量有多远。

上面这个怎样怎样也就是范数种类，通常我们称为p-norm，严格定义是：

$||x||_p := (\sum^n_{i=1}|x_i|^p)^\frac{1}{p}$

其中当 p 取 1 时被称为 1-norm，也就是提到的 L1-norm，同理 L2-norm 可得。

L1 ， L2 ，L∞范数的定义

根据上述公式 L1-norm 和 L2-norm 的定义也就自然而然得到了。

先将 p=1 代入公式，就有了 L1-norm 的定义：
$||x||_1 :=\sum^n_{i=1}|x_i|$
然后代入 p=2，L2-norm 也有了：
$||x||_1 :=(\sum^n_{i=1}|x_i|^2)^{\frac{1}{2}}$

L2 展开就是熟悉的欧几里得范数：
$||x||_2 :=\sqrt{x_1^2+\cdot\cdot\cdot + x_n^2}$

无穷范数，向量中最大元素的绝对值
$||x||_∞ = max(|x_1|,|x_2|,...,|x_n|)$

题外话，其中 L1-norm 又叫做 taxicab-norm 或者 Manhattan-norm，可能最早提出的大神直接用在曼哈顿区坐出租车来做比喻吧。下图中绿线是两个黑点的 L2 距离，而其他几根就是 taxicab 也就是 L1 距离，确实很像我们平时用地图时走的路线了。

L1 和 L2 范数在机器学习上最主要的应用大概分下面两类：

• 作为损失函数使用
• 作为正则项使用也即所谓 L1-regularization 和 L2-regularization

在说这个之前，我们先来说几个距离概念吧。

距离概念

对于一些常见的距离先做一个简单的说明

假设X和Y都是一个n维的向量，即
$X = (x_1,x_2,x_3,...,x_n) , Y=(y_1,y_2,y_3,...y_n)$

曼哈顿距离

来源于美国纽约市曼哈顿区，因为曼哈顿是方方正正的。对应L1范数。
$D(X,Y) = \sum^n_{i=1}|x_i-y_i|$

欧式距离

对应L2范数

$D(X,Y) = \sqrt{\sum^n_{i=1}(x_i-y_i)^2}$

切比雪夫距离

切比雪夫距离是将2个点之间的距离定义为其各坐标数值差的最大值。对应L∞范数$D(X,Y) = max(|x_1-y_1|,|x_2-y_2|,...,|x_n-y_n|)$

闵可夫斯基距离

对应Lp范数$D(X,Y) = (\sum^n_{i=1}|x_i-y_i|^p)^{\frac{1}{p}}$

这里的p值是一个变量：

• 当p=1的时候就得到了曼哈顿距离
• 当p=2的时候就得到了欧氏距离
• 当p=∞的时候就得到了切比雪夫距离

担当损失函数

先来看个回归问题

我们需要做的是，获得一条线，让数据点到线上的总距离（也就是error）最小。

还记得之前在范数介绍中提到的用来表示距离吗，于是也可以用能表示距离的 L1-norm 和 L2-norm 来作为损失函数了。

首先是 L1-norm 损失函数，又被称为最小绝对偏差 (least absolute deviation，LAD)

$S = \sum^n_{i=1} = |y_i - f(x_i)|$

如果我们最小化上面的损失函数，其实就是在最小化预测值 和目标值 的绝对值。

之后是大家最熟悉的 L2-norm 损失函数，又有大名最小二乘误差 (least squares error, LSE):

$S = \sum^n_{i=1}(y_i - f(x_i))^2$

那么问题来了，为什么大家一般都用 L2 损失函数，却不用 L1 呢？

这个就说来话长了，如果你问一个学习过微积分的同学，如何求一个方程的最小值，他/她大概会想当然的说：“求导，置零，解方程。” 号称微积分届的农夫三拳。

但如果给出一个绝对值的方程，突然就会发现农夫三拳不管用了，求最小值就有点麻烦了。主要是因为绝对值的倒数是不连续的。

同样的对于 L1 和 L2 损失函数的选择，也会碰到同样的问题，所以最后大家一般用 L2 损失函数而不用 L1 损失函数的原因就是：

因为计算方便！

可以直接求导获得取最小值时各个参数的取值。

此外还有一点，用 L2 一定只有一条最好的预测线，L1 则因为其性质可能存在多个最优解。

当然 L1 损失函数难道就没有什么好处了吗，也是有的，那就是鲁棒性 (Robust) 更强，对异常值更不敏感。

L1范数与L2范数作为损失函数的区别能快速地总结如下：

L2损失函数	L1损失函数
不是非常的鲁棒（robust）	鲁棒
计算方便	计算较复杂
稳定解	不稳定解
总是一个解	可能多个解

担当正则项

因为机器学习中众所周知的过拟合问题，所以用正则化防止过拟合，成了机器学习中一个非常重要的技巧。正则化通过降低模型的复杂性， 缓解过拟合。

但数学上来讲，其实就是在损失函数中加个正则项（Regularization Term），来防止参数拟合得过好。

L1-regularization 和 L2-regularization 便都是我们常用的正则项，两者公式的例子分别如下

这两个正则项最主要的不同，包括两点：

• 如上面提到的，L2 计算起来更方便，而 L1 在特别是非稀疏向量上的计算效率就很低；
• 还有就是 L1 最重要的一个特点，输出稀疏，会把不重要的特征直接置零，而 L2 则不会；
• 最后，如之前多次提过，L2 有唯一解，而 L1 不是。

这里关于第二条输出稀疏我想再进行一些详细讲解，因为 L1 天然的输出稀疏性，把不重要的特征都置为 0，所以它也是一个天然的特征选择器。

可是为什么 L1 会有这样的性质呢，而 L2 没有呢？这里用个直观的例子来讲解。

来一步一步看吧，首先获知用梯度下降法来优化时，需要求导获得梯度，然后用以更新参数。

$w = w - α\frac{\partial L(w)}{\partial w}$
于是分别先对 L1 正则项和 L2 正则项来进行求导，可得：

之后将 L1 和 L2 和它们的导数画在图上

于是会发现，在梯度更新时，不管 L1 的大小是多少（只要不是0）梯度都是1或者-1，所以每次更新时，它都是稳步向0前进。

而看 L2 的话，就会发现它的梯度当w越靠近0，就变得越小。