在等可能概型中,有一类问题是球放盒子问题,比如把m个球,放在n(n >=m )个盒子中,计算各种情况的概率,这类问题难点在于排列组合的运算,下面按照从易到难的情况对这类问题进行分析:
1、每个盒子只能放一个球
计算每个盒子最多只能放一个球的概率,首先来看下这个问题的解题思路:
每个球可以放n个盒子,因此m个球的样本空间的样本个数N(S)=
第一个球可以选n个位置
第二个球可以选n-1个位置
….
第m个球可选n-m+1个位置
N(A)=n*(n-1)…(n-m+1)=
p(A)=
这个问题很简单,不用多解释
2、每个盒子可以放多个球
如果把问题复杂化一点,每个盒子可以放多个球,要求所有的球放i个盒子的概率怎么计算呢,下面就来研究一下
为了便于问题分析,先把n和m具体化,并且设置小一点方便计算,就假设要求是共3个盒子,4个球,放在2个盒子中;这种情况下,就有两种分法,第一种是一个盒子放1个球,另一个放3球(1+3);第二种是2+2,下面分别进行计算分析。
2.1 1+3的情况
先计算1+3的情况,首先在4个球中选1个就是,这个球有3个盒子可选就是,剩下的3个球选3个是,有2个盒子可选是
这种情况的N=,而且可以把组合起来就是,这个怎么理解呢,其实就是有两组球,放在3个盒子中进行排列运算的结果;而就是4个球分成1+3两组的组合结果,根据运算公式得到最终的样本个数是24个,列个表格来验证一下结果:
box1 | box2 | box3 |
1 | 234 | |
1 | 234 | |
234 | 1 | |
1 | 234 | |
234 | 1 | |
234 | 1 | |
… |
如表格所示(1,234)的放置方法共有6种,而(2,134),(3,124),(4,123)四种分法也不会有重复,因此计算的结果24是正确的;
2.2 2+2的情况
下面来计算2+2的情况,按照前面的思路,N=,或者N==36,还是列一张表,来验证一下结果:
box1 | box2 | box3 |
12 | 34 | |
12 | 34 | |
34 | 12 | |
12 | 34 | |
34 | 12 | |
34 | 12 | |
13 | 24 | |
13 | 24 | |
24 | 13 | |
13 | 24 | |
24 | 13 | |
24 | 13 | |
14 | 23 | |
14 | 23 | |
23 | 14 | |
14 | 23 | |
23 | 14 | |
23 | 14 |
然而表格统计的结果只有18个,刚好是之前运算结果的一半,问题出在哪里?
首先看,两组数,3个位置,并且有顺序,所以没有问题。
再来看下,按照理解应该是先从4个数种选2个,再从剩下的2个种选2个,集合是这样的{(12,34),(13,24),(14,23),(23,14),(24,13),(34,12)},但是当把这个集合的数拿到盒子中做组合运算就会重复,因为(12,34)和(34,12)是等价的,实际的结果应该是{(12,34),(13,24),(14,23)},这之间差的2倍实际上就是2个组的全排列,注意这里的2是两个组的那个2,而不是每个组中2个数字的那个2;
由于两组数的个数相同,的计算方法暗含了一个根据组数进行的全排列,因此在运算时要把除掉,再次强调这里的2是组的个数,最后得到的结果是:N=
最后汇总1+3和2+2的两种情况,分两组的样本个数为N=,后面计算概率除以样本总数就不再赘述了。
3、一般情况
推广到更普遍的情况,n个组,每组k个数(所有数字不重复)的组合的总数为:
N=,(这个要用归纳法去证明,限于时间精力有限就不想证明了,结果应该是对的),而之前1+3的情况,1和3都只有一组,按照这个公式把带进去也是正确的;
如果要在m个容器中进行放置,就再乘以进行排列,如果要运算概率,就再除以N(S)=
另外网上看到很多人问两两组合的问题,比如6个数两两组合有多少情况,网上很多答案是,结果15是对的,但是算法错了,应该是
以上就是对于多个数进行k*n分组的情况下,计算排列组合以及概率的一些分享,希望能对大家有帮助。