目录
一、多元函数的极限与连续
（1）多元函数的二重极限
1、证明函数的极限是否存在：
2、求多元函数的极限：
（2）多元函数的连续性
二、偏导数与全微分
三、多元复合函数的求导法则
四、隐函数的求导公式
五、多元函数微分学的几何应用
（1）空间曲线的的切线与法平面
（2）曲面的切平面与法线
六、方向导数与梯度
（1）方向导数：
(2) 梯度：
七、多元函数的极值及其应用
1、极值的充分与必要条件
2、条件极值 拉格朗日乘数法
一、多元函数的极限与连续
（1）多元函数的二重极限
1、证明函数的极限是否存在：
(1) 定义证明：与一重极限相似，x之间的距离无限逼近变为点（x，y）与聚点的距离无限逼近，
即当满足式子 0< 
则A为，点趋近（x0，y0）时的极限（可以理解为一对点值的差距都无限小时，点逼近于点，值也逼近于值，并且各个方向都这样，那么极限存在）
（2）设y与x的函数证明极限不存在:由于在x，y平面内进行趋近，所以可以设y=kx，把y替代为x，算出结果来判断极限的结果如果与k有关，则极限不唯一，则不存在，反之与k无关也不能证明存在（因为可以沿着曲线接近，所以绝对不能用这个方法求极限）
2、求多元函数的极限：
（一重极限的求极限方法同样可以套用于二重极限，无非就是多了个自变量，把x和y看作一个整体变量z，合二为一即与一重极限求法一模一样）
（1）可以利用等价无穷小代换
例1、 
（2）如果只含有xy这一类型变量可以设xy为t，根据x，y的趋近值求出t的趋近值后，化为一重极限来做
（3）可以利用夹逼定理
（2）多元函数的连续性
1、趋于某个点的极限值等于那个点的函数值，则函数在这个点连续
2、有界闭区域D上的连续多元函数必能在d上最大值与最小值间的任何数
二、偏导数与全微分
1、几何意义上来看，求x的偏导数就是求对于x轴的倾角
2、可微的必要条件，函数的一阶偏导数连续（偏导数存在则原函数连续），则这个点可微（函数连续，才可以在这个点微分，导函数连续才可以利用公式求出微分的值，不然求不出就等于不可微）
3、可微充分条件，函数的偏导数在这个点连续（这样此点就不会是尖点，而是平滑的点，那就可以造出对应的切平面），则该点可微
4、全微分和一元函数微分的几何意义
5、一元函数和多元函数可微，可导，连续之间的联系
（唯一不同的就是多元函数的可导推不出连续与可微，因为多元函数的可导是偏导，只有两个方向，而多元函数的连续与可微要求各个方向的导数存在，即一阶偏导数存在且原函数在这个点连续）
6、证明某点偏导数的存在
（1）如果是分段函数，不可以直接对方程求偏导，因为那个点不在函数定义域内，这时只能利用偏导数的定义来证明（即求极限来证明）
（2）如果不是分段函数，则直接对函数求偏导看偏导数是否有意义
7、可微的充分条件=二元函数的偏导数存在（偏导数仍然是关于点的函数）
例1 (3y)^y要化为e的指数形式来求导，3y不是整数
例2 利用全增量和全微分的差与x，y变化量之比的极限值是否为0来判断函数能否微分
例3 求函数的全微分
例1 （化至最简形式，显函数中的du与dv转为dx与dy）
例2 （化至最简形式，隐函数中的dz转为dx与dy）
三、多元复合函数的求导法则
1、抽象函数的二阶偏导数（函数的偏导数跟函数有一样的连接式）
例1
例2 套娃的抽象函数求导
四、隐函数的求导公式
1、求导公式: 
2、方程组情形：（分母由偏导数的系数组成，分子根据求的偏导数的分母在把那一列替换为方程右边的系数，偏导数的结果可以含有u与v不一定只有x与y）
3、不能利用公式求导的隐函数，直接对等式两边进行求导
例1 （求二阶导数，一阶可以用公式，二阶只能等式两边同时对x求导，在把一阶的结果代入得到最终的结果）
例2
例3 抽象隐函数的求偏导
4、雅克比行列式求解隐函数方程组
五、多元函数微分学的几何应用
（1）空间曲线的的切线与法平面
1、将曲线的x，y，z由t来表示或者由x来表示，求出这三个函数的导数，三个导数所形成的的向量即为曲线的方向向量（即x，y，z三方向的导数结合即为曲线主方向的导数，主方向的导数方向向量可以在三维坐标中被分解为3个方向，注意不可以是偏导数）
（方向向量也可以用，方程组求出的dx，dy，dz求）
（2）曲面的切平面与法线
可以看出过曲面上一点M的所有切向量总是与向量n垂直，所以n为该点切面（这时是曲面而不是曲线所以是切面不止一条切线）的法向量
例1
这题除了对x求导后利用雅克比行列式硬算出x，y，z的对x导数方程外，也可以利用两个切平面来表示两个曲面相交的点的切线（两面确一线）
六、方向导数与梯度
（1）方向导数：
1、可微则该点方向导数一定存在，方向导数公式为（方向导数即沿某一方向的距离变化率）
（由式可得，一点一方向确定一个方向导数）
例1 （方向导数=方向余弦+偏导数向量，二者相乘得到值，所以方向导数是值）
（梯度=x，y，z三个方向的变化率，即偏导数向量，所以梯度是向量）
(2) 梯度：
梯度本身是一个向量，方向导数可以由梯度和单位向量的数量积表示(此时方向导数不是一个向量，所以符合） 
(当梯度代表的导数向量和单位向量方向一致时，即这个方向是这个点方向导数变化最快的方向，即距离变化率最大的地方)
七、多元函数的极值及其应用
1、极值的充分与必要条件
可以用充分条件判断是否有极值，极值对应的点必定是驻点
例1
例2 根据极限判断一点是否为极值点
2、条件极值 拉格朗日乘数法
1、拉格朗日乘数法：
1、当附加条件简单时，可以直接将原函数从二元函数换为1元函数求求导
2、应用题的拉格朗日函数设法
3、拉格朗日函数法的约束条件
