穷举
计算机的特点之一就是运算速度快，善于重复做一件事。“穷举”正是基于这一特点的最古老的算法。它一般是在一时找不出解决问题的更好途径，即从数学上找不到求解的公式或规则时，根据问题中的“约束条件”，将解的所有可能情况一一列举出来，然后再逐个验证是否符合整个问题的求解要求，从而求得问题的可行解或者最优解。
一、 穷举算法的应用举例
例1、楼层编号
【问题描述】
小林在 NOIP 比赛期间住在“新世界”酒店。和其他酒店不一样的是，这个酒店每天都有一个高能的数字 t，这个数字在楼层中是不会出现的，以 t=3 为例，则 3、13、31、33 等楼层是不存在的，楼层编号为 1，2，4，5，…所以实际上的 4 楼才是 3 楼。
已知小林预订了编号为 m 层的房间，并且当天高能数字是 t，现在他想知道房间所在的真实楼层是多少。
【输入格式】
一行两个整数 m 和 t，1≤m≤100000，0≤t≤9，保证 m 对 t 合法。
【输出格式】
一行一个整数，表示真实楼层。
【输入样例】
14 3
【输出样例】
12
【问题分析】
根据题意，只要从 1~m 穷举楼层编号，将所有含高能数字 t 的楼层计数存储在 ans 中，最后的答案就是 m-ans。
例2、火柴棒等式
【问题描述】
给出 n 根火柴棒，可以拼出多少个形如“A+B=C”的等式？
等式中的 A、B、C 是用火柴棒拼出的整数（若该数非零，则最高位不能是 0）。用火柴棒拼数字 0~9 的拼法如图 9.7-1 所示。
需要注意以下几点：
（1） 加号与等号各自需要两根火柴棒。
（2） 如果 A ≠ B，则 A+B=C 与 B+A=C 视为不同的等式（A、B、C 均大于或等于 0）。
（3） n 根火柴棒必须全部用上（n≤24）。
【输入样例】
14
【输出样例】
2
【样例说明】
两个等式分别为：0+1=1 和 1+0=1。
【问题分析】
首先，预处理每个数字（0~9）需要用几根火柴棒，存储在数组 f 中。然后，穷举 a 和 b，算出它们的和 c，再判断下列约束条件是否成立：f （a）+ f （b）+ f （c）= n-4。现在的问题是：a 和 b 的范围有多大？可以发现尽量用数字 1 拼成的数比较大，分析可知最多不会超过 1111。程序实现时，分别用三个循环语句预处理好所有两位数、三位数、四位数构成所需要的火柴棒数量。
例3、比例简化
【问题描述】
在社交媒体上，经常会看到针对某一个观点同意与否的民意调查以及结果。例如，对某观点表示支持的有 1498 人，反对的有 902 人，那么其比例可以简单地记为1498∶902。
因该比例的数值太大，难以一眼看出它们的关系。若把比例记为 5∶3，虽然与真实结果有一定的误差，但依然能够较为准确地反映调查结果，同时也显得比较直观。
现给出支持人数 A 和反对人数 B，以及一个上限 L，请将 A 比 B 化简为 A′ 比 B′，要求在 A′和 B′ 均不大于 L，且 A′ 和 B′ 互质（两个整数的最大公约数为 1）的前提下，A′/B′≥ A/B 且 A′/B′-A/B 的值尽可能小。
【输入格式】
一行三个整数 A，B，L，每两个整数之间用一个空格隔开，分别表示支持人数、反对人数以及上限。
【输出格式】
一行两个整数 A′ 和 B′，中间用一个空格隔开，表示化简后的比例。
【输入样例】
1498 902 10
【输出样例】
5 3
【数据规模】
对于 100% 的数据满足：1≤A≤10 6 ，1≤B≤10 6 ，1≤L≤100，A/B≤L。
【问题分析】
首先，答案为一个分数，而且分子，分母都小于或等于 L。所以，可以直接穷举分子 i （对应题目中的 A′）和分母 j （对应题目中的 B′）。结合题目的具体要求分析：
（1） i，j≤L，这个可以作为穷举的范围。
（2） i/j≥A/B，且 i/j-A/B 的值尽量小。前者只要转换成 i*B≥j*A，后者可以“打擂台”实现。
假设用K1/K2表示最后的答案，初值设置为1000000/1，min=abs （k1*B-k2*A）。如果abs （i/j-A/B）< abs（K1/K2-A/B），即如果 abs（i*B-j*A）< abs（k1*B-k2*A），则更新 K1、K2 和 min。
（3） 答案的分子、分母要互质，这个只要从小到大穷举 i、从大到小穷举 j，第一个符合条件的答案肯定就是最简分数。假设 L=10，如果先穷举到 1/5 得到一个答案，后面的 2/10 是不会更新答案的。
例4、奶牛碑文
【问题描述】
小伟暑假期间到大草原旅游，在一块石头上发现了一些有趣的碑文。碑文似乎是一个神秘古老的语言，只包括三个大写字母 C、O 和 W。尽管小伟看不懂，但是令他高兴的是，C、O、W的顺序形式构成了一句他最喜欢的奶牛单词“COW”。现在，他想知道有多少次 COW 出现在文本中。
如果 COW 内穿插了其他字符，只要 COW 字符出现在正确的顺序，小伟也不介意。甚至，他也不介意出现不同的 COW 共享一些字母。例如，CWOW 出现了 1 次 COW，CCOW 算出现了2 次 COW，CCOOWW 算出现了 8 次 COW。
【输入格式】
第 1 行为 1 个整数 N。
第 2 行为 N 个字符的字符串，每个字符是一个 C、O 或 W。
【输出格式】
输出 COW 作为输入字符串的字串出现的次数（不一定是连续的）。
提示：答案会很大，建议用 64 位整数（long long）。
【输入样例】
6
COOWWW
【输出样例】
6
【数据规模】
对于 50% 的数据满足：N≤60。
对于 100% 的数据满足：N≤105 。
【问题分析】
因为只有 3 个字母，所以可以穷举字符串中的每一个“O”，假设位置 i，然后分别计算其左边“C” 的个数 l[i] 和右边“W” 的个数 r[i]，再利用乘法原理进行计数 l[i]*r[i]，每次把答案累加到 ans 中。
二、 穷举算法的优化
穷举算法的特点是算法设计、实现都相对简单，但时间复杂度和空间复杂度往往较大。因此，用穷举算法解决问题时，往往需要尽量优化算法，从而减少穷举的次数，提高穷举的效率。
穷举算法优化的思路主要有结合约束条件，通过数学推导，减少穷举的范围和数量；通过预处理（如部分和、是否素数等），以空间换时间，避免在穷举过程中重复计算或判断等。
例5、三角形个数
【问题描述】
输入一根木棒的长度 n，1≤n≤10000，将该木棒分成三段，每段的长度为正整数，输出由该三段小木棒组成的不一样的三角形个数。
【输入样例】
10
【输出样例】
2
【样例说明】
两个能组成的三角形边长分别为 2、4、4 和 3、3、4。
【问题分析】
穷举三角形三条边长（假设为 a、b、c）的可能值，判断能否构成一个三角形，若能则计数，最后输出计数器的值。为了保证组成的三角形不重复，只要在穷举时设定 1≤a≤b≤c≤n-2。优化思想很简单但很重要，“能算不举”，穷举两条边，根据木棒长度直接计算出第三条边长。
例6、阿姆斯特朗数
【问题描述】
编程找出所有的三位数到七位数中的阿姆斯特朗数。阿姆斯特朗数也叫水仙花数，它的定义如下：若一个 n 位自然数的各位数字的 n 次方之和等于它本身，则称这个自然数为阿姆斯特朗数。例如，153（153=1×1×1+3×3×3 +5×5×5）是一个三位的阿姆斯特朗数，8208 则是一个四位的阿姆斯特朗数。
【问题分析】
由于阿姆斯特朗数是没有规律的，只能采用穷举法一一验证 100~9999999 内的所有数是否是阿姆斯特朗数，若是，则打印之。但是，如果对任意一个数 K，都去求它的各位的若干次方，再求和判断是否等于K，效率比较差。注意到，每个位只可能是0~9，而且只会算到3~7次方。所以，为了使得程序尽快运行出正确结果，采用“以空间换时间”的策略，使用一个数组 p 预处理出所有数字的各次幂之值，p[i,j]表示 i 的 j 次方。另外，为了避免每次都对一个数进行逐位分解操作，直接用数组 a[8]存储一个数的每一位，穷举 100~9999999。
例7、金币
【问题描述】
国王将金币作为工资，发放给忠诚的骑士。第一天，骑士收到一枚金币；之后两天（第二天和第三天）里，每天收到两枚金币；之后三天（第四、五、六天）里，每天收到三枚金币；之后四天（第七、八、九、十天）里，每天收到四枚金币……这种工资发放模式会一直这样延续下去。当连续 n天每天收到 n 枚金币后，骑士会在之后的连续 n+1 天里，每天收到 n+1 枚金币（n 为正整数）。
请编程确定从第一天开始的给定天数内，骑士一共获得了多少金币。
【输入格式】
输入包含至少一行，但不多于 1000 行。
除最后一行外，输入的每行是一组输入数据，包含一个正整数 n，表示天数。
输入的最后一行为 0，表示输入结束。
【输出格式】
对每个数据输出一行一个整数，表示该数据对应总金币数。
【输入样例】
10
6
7
11
15
16
100
10000
1000
21
22
0
【数据规模】
对于 60% 的数据满足：n≤103 ；
对于 80% 的数据满足：n≤106 ；
对于 100% 的数据满足：n≤1012 。
【问题分析】
每次穷举每天获得的金币数，或者将答案保存在数组中直接输出，可以获得部分分。下面利用数学推导进行优化。
因为：1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 = k ×（k+1）×（2k+1）/ 6，假设前 n 个数为 1，2，2，3，3，3，…，k，k，k，k，如何求 k 呢？根据 1+2+3+…+k = n，即 k 2 +k-2n = 0，把 k 看成未知数，解方程可求出 k =（-1 + sqrt （1+8n））/ 2 = sqrt （2n+0.25）- 0.5，另一个负数解不合法舍去。
三、 二进制穷举思想
对于二进制数 00000，00001，00010，…，11111，它们是严格递增有序的，如何生成类似的二进制数字序列，就是“二进制穷举”思想，其应用非常广泛。“二进制穷举”的实现代码如下:
#include<cstdio>
using namespace std;
int main(){
int n;
int b[100];
scanf( “ %d ” ,&n);
for(int i = 0; i <= n; i++) b[i] = 0;
while(b[0] == 0){
for(int i = 1; i <= n; i++) printf( “ %d ” ,b[i]);
printf( “ \n ” );
int j = n;
while(b[j] == 1) j--;
b[j]++;
for(int i = j + 1; i <= n; i++) b[i] = 0;
}
return 0;
}
例8、0-1 背包问题
【问题描述】
有 n 件物品，每件物品有一个重量和一个价值，分别记为 W1 ，W2 ，…，Wn 和 C1 ，C2 ，…，Cn 。现在有一个背包，其容量为 WK，要从 n 件物品种任取若干件，要求：
（1） 重量之和小于或等于 WK。
（2） 价值之和最大。
【输入格式】
第 1 行 2 个整数，表示 n和WK，1≤n≤20，1≤WK≤106 。
第 2 行 n 个整数，表示每一个物品的重量，1≤Wi ≤104 。
第 3 行 n 个整数，表示每一个物品的价值，1≤Ci ≤108 。
【输出格式】
一行一个数，表示符合背包容量的最大价值。
【输入样例】
8 200
79 58 86 11 28 62 15 68
83 14 54 79 72 52 48 62
【输出样例】
334
【问题分析】
背包问题有很多类型，本题是最简单的一种模型“0-1 背包”，即每件物品只有不取和取两种情况，对应着二进制中的 0 和 1。0-1 背包有多种解决算法，具体在第 13 课详细讲解。这里采用二进制穷举思想，从 000…00 穷举到 111…11，即定义一个数组 b，元素 b[i] = 0 或者 1，表示第 i 件物品不取或者取，每次判断背包能否装的下，同时对于价值打擂台取最大值。
例9、组合数的生成
【问题描述】
从 1、2、3、4、5、6 这 6 个数字中任取 4 个数的组合有1 2 3 4、1 2 3 5、1 2 3 6、1 2 4 5、1 2 4 6、1 2 5 6、1 3 4 5、1 3 4 6、1 3 5 6、1 4 5 6、2 3 4 5、2 3 4 6、2 3 5 6、2 4 5 6、3 4 5 6，共 15 种。若把它们看成 4 位数，发现是递增的。
编程，输入 n 和 r，1≤r≤n≤20，按照以上顺序，输出从 n 个数字（1~n）中任取 r 个数的所有组合。
【输入样例】
3 2
【输出样例】
1 2
1 3
2 3
【问题分析】
观察第一个数到最后一个数的变化规律，可以看出最后一位先变化（加 1），变到 n 就要“进位”到上一位；对于倒数第二位，变化到 n-1 就要产生“进位”……每次“进位”后，本位及以后的所有位都要重新置成一个递增的序列。这个算法的思路就是二进制穷举思想，不过不是固定的“n 进制”。
