1. 偏导数
偏导数 $\neq$ 偏导函数。偏导数是偏导函数在某点的函数值
在点 $(x_{0},y_{0})$ 处对 $x$ 和 $y$ 的偏导数分别为
$$f_{x}^{'}(x_{0},y_{0}) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_{0} + \Delta x, y_{0}) - f(x_{0}, y_{0})}{\Delta x} = \frac{d}{dx}f(x,y_{0})|_{x=x_{0}}$$
$$f_{y}^{'}(x_{0},y_{0}) = \lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(x_{0}, y_{0}+ \Delta y) - f(x_{0}, y_{0})}{\Delta y} = \frac{d}{dy}f(x_{0},y)|_{y=y_{0}}$$
将 $x_{0},y_{0}$ 泛化，可得偏导函数：
$$f_{x}^{'}(x, y) = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x} = \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$$
$$f_{y}^{'}(x, y) = \lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}{\Delta y} = \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$$
偏导函数是二元函数，在求的过程中，将另一维的变量当作常量，然后根据一元函数导函数求法来求偏导函数。比如二元函数固定 $y$，只让 $x$ 单
独变化，从而看成是关于 $x$ 的一元函数的变化来研究。
$\partial$，表示多元函数求偏导。不同于一元，$\partial$ 没有微分的含义，
只是一个记号，$\partial$ 或 $d$ 和其后面跟的变量是可分离的。
注意：$f_{x}^{'}$ 并不是代表对 $x$ 求偏导，而是相当于 $f_{1}^{'}$，由于不是复合函数，所以间接认为是对变量 $x$ 求偏导。
求某点偏导数的方法：
1）将该点代入偏导函数，可直接计算得到函数值
2）既然另一维变量在求偏导的过程中是看作常量的，则可将另一维变量值直接代入原函数，然后根据一元函数导数求法来求。
偏导数的几何意义是曲线在某点的切线斜率，这个曲线是二元函数图形张成的曲面与平面 $x = x_{0}$ 或 平面 $y = y_{0}$ 的交线。
偏导函数就是所有这样的曲线的导函数所组成的曲面。可以想象：每条曲线位于每个不同的平面内，互不干扰，它们的导函数自然也位于自己所在
的平面内，互不干扰，然后每个平面上的导函数曲线的组合就会构成偏导函数的曲面。
但是由于曲面上一点的切线有无数条(实际上是个切面)，每一个切线都代表一个变化的方向，每个切线的斜率都代表一个方向的变化率。
但是如果我们想求任意一条曲线切线斜率怎么办呢?这时候就引入了方向导数。
理解一下这个方向的含义：对 $x$ 或 $y$ 的偏导数其实是对 $x$ 轴方向或 $y$ 轴方向的偏导数，所以这个方向并不是切线方向，而是切线方向
在 $xoy$ 平面上投影后形成的射线方向，平面上射线方向和空间切线方向一一对应。也可以说：方向指的是 $xy$ 平面上的一个矢量。
方向导数定义：设函数 $f(x,y)$ 在平面上任意一点 $P(x,y)$ 的邻域内有定义，自 $P$ 点引出一条射线 $l$，这个射线是空间中对应的切线方向
在 $xoy$ 平面上的投影，在 $l$ 上取一点 $(x + \Delta x, y + \Delta y)$，设该点到 $P$ 的距离为 $\rho$，则 $\rho = \sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}$，若极限
$$\lim_{\rho \rightarrow 0}\frac{f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y)}{\rho }$$
存在，则称此极限值为 $f(x,y)$ 在点 $P$ 沿方向 $l$ 的方向导数，记为 $\frac{\partial f}{\partial l} $。
$\alpha$，则方向导数也可以写成
$$\frac{\partial f}{\partial l} = \lim_{\rho \rightarrow 0}\frac{f(x + \rho \cdot cos\alpha ,\; y + \rho \cdot sin\alpha) - f(x, y)}{\rho } $$
由图像可知
$$\cos \alpha = \frac{\Delta x}{\rho}= \frac{\Delta x}{\sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}}$$
$$\sin \alpha = \frac{\Delta y}{\rho}= \frac{\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}}$$
要使任意方向的导数都存在，则函数在该点必须可微，根据增量表达式
$$f(x+\Delta x,y+\Delta y) - f(x,y) = A\cdot \Delta x + B\cdot \Delta y + o(\rho )$$
$\rho$，并取极限，可得
$$\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x}\cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial y}\sin \alpha = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) \cdot (\cos \alpha,\sin \alpha)$$
注：上述结果也可以通过洛必达法则来得到。
梯度：它是一个方向向量，是函数在某点无数个变化方向中变化最快的那个方向，也是方向导数最大的方向。通过上式可以发现，只要每一个
变量都沿着关于这个变量的偏导所指定的方向来变化，函数的整体变化就能达到最快(变化的绝对值最大)，梯度记为
$$gradz = (\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})$$
注：因为梯度是正的最大值，所以梯度方向一定是函数上升的方向。
2. 全微分
先来看看一元微分给了我们什么启示：
1）微分得是“直”的（这样才能“代曲”），一元是直线，二元只能是平面。
2）微分和切线有关，一元微分就是切线，二元微分是由无数条切线张成的切平面。
所以要使二元的函数能够微分，则每个点所有方向的切线必须都存在，并且都在一个平面，也叫切平面，这个微分可以提供对曲面很好的“线性近似”。
“线性逼近，以直代曲”是微积分的精髓所在。下面我们来看下全微分的定义。
函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处的全增量为
$$\Delta z = f(x+\Delta x,y+\Delta y) - f(x,y)$$
如果全增量可以表示为
$$\Delta z = f(x+\Delta x,y+\Delta y) - f(x,y) = A\cdot \Delta x + B\cdot \Delta y + o(\rho ),\; \rho = \sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}} \; and \; \rho \rightarrow 0$$
$\Delta x,\Delta y$，只与 $x,y$ 有关，则称函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处可微，全微分记为
$$dz = A\cdot \Delta x + B\cdot \Delta y$$
那这个 $A$ 和 $B$ 如何计算呢？
$$f(x+\Delta x,y+\Delta y) - f(x,y) = A\cdot \Delta x + B\cdot \Delta y + o(\rho ) \\
let \; \Delta y = 0 \\
f(x+\Delta x,y) - f(x,y) = A\cdot \Delta x + o(|\Delta x|) \\
both \; sizes \; divedes \; \Delta x \\
A = \frac{\partial f}{\partial x}$$
$B = \frac{\partial f}{\partial y}$，又无穷小时 $\Delta x = dx,\; \Delta y = dy$，所以全微分为
$$dz = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$$
