python怎样求偏导 python怎么求偏导

摘要： 实际问题中主要涉及的还是多变量的函数，单一变量导数的计算其实是多变量导数求偏导的一个特例。本文将单变量求导的实现扩展到多变量求偏导，输出的结果不仅是各个变量的导数，也是函数在当前点的梯度。

关键词： 多变量，偏导，梯度

前言

1 偏导数

假设有以下函数：
$f(x_1, x_2) = x_1^2 + 2x_2^2$
这也是为了便于介绍的，实际问题函数也比较复杂。这个函数已经有两个变量了。
使用Python实现如下：

def function_2(x):
    """一个多变量函数 y = x1^2 + 2*x2^2
    x 可以为一个list或者tuple 元素要有两个以上
    """
    return x[0]**2 + 2*x[1]**2

本文所需要的依赖包如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D  # 绘制3d图形

下面将这个函数可视化，看看是什么样子的。

绘图源码：

def plot_function_2():
    """函数function_2 3维可视化
    """
    fig = plt.figure(figsize=(12, 8))  # 创建画板
    ax = plt.axes(projection='3d')  # 在当前画板上创建一个坐标轴
    x1 = np.arange(-5, 5, 0.01)  # 自变量1
    x2 = np.arange(-5, 5, 0.01)  # 自变量2
    X1, X2 = np.meshgrid(x1, x2)  # 将自变量坐标化
    y = function_2([X1, X2])  # 计算对应左边的函数结果
    ax.plot_surface(X1, X2, y, cmap='rainbow')  # 绘制图形表面
    ax.set_title("Fig. function $f(x_1, x_2)=x_1^2 + 2x_2^2$")
    ax.set_xlabel("$x_1$")
    ax.set_ylabel("$x_2$")
    ax.set_zlabel("$f(x_1, x_2)$")
    plt.show()  # 显示


plot_function_2()

现在我们对目标函数中自变量x1和x2求偏导，需要注意的是当对x1求偏导的时候，我们把x2当作常数，对x2求导时也是如此把x1当作常数。其对应的导数如下：
$\frac{\partial f}{\partial x_1}=2x_1, \quad \frac{\partial f}{\partial x_2}=4x_2$
实现对应的偏导数函数也比较简单如下：

def function_temp1(x):
    """f(x)对x1的偏导数
    x x1的值
    """
    return 2*x

def function_temp2(x):
    """f(x)对x2的偏导数
    x x2的值
    """
    return 4*x

2 偏导数Python实现

实现代码如下：

def numerical_diff(f, x):
    """
    f为需要求导的函数
    x为对应的变量
    """
    h = 1e-10
    diff = np.zeros_like(x.size)
    for idx in range(x.size):
        tmp_val = x[idx]  # 获取
        # f(x + h) 的计算
        x[idx] = tmp_val + h   # 对于的需要计算偏导数变量的值略加一点
        fxh1 = f(x)            # 计算
        
        # f(x-h)的计算
        x[idx] = tmp_val - h   # 对于的需要计算偏导数变量的值略减一点
        fxh2 = f(x)
        
        diff[idx] = (fxh1 - fxh2)/(2*h)
        x[idx] = tmp_val       # 还原值
    
    return diff

以点(2, 3)为例，比较自写求偏导的函数numerical_diff和标准函数计算的结果：

x = np.array([2., 3.])
print("numerical_diff result:\n")
print(numerical_diff(function_2, x))
print("standard result:\n")
print(np.array([function_temp1(x[0]), function_temp2(x[1])]))
"""
numerical_diff result:
[ 4.00000033 12.00000099]
standard result:
[ 4. 12.]
"""

从结果可以看出差别不是很大，基本上可以说是保持一致。

总结

numerical_diff函数的是有一定技巧的，我们需要注意的是在实际计算导数值时，与目标变量没有关系的部分，求导后都为0，与目标变量有关的部分会被进行差分求导的运算，补充一下求导是线性特征的，函数中的元素单独求导后再相加也是可以的。
硬核补充： numerical_diff函数输出的结果其实就是函数在某点的梯度。