公钥加密体制模型
- 发送方A查找接收方B的公钥；
- A采用公钥加密算法用B的公钥对明文进行加密；
- A通过不安全信道将密文发送给B；
- B收到密文后使用自己的私钥对密文解密还原出明文。
单向陷门函数
- 给定x，计算 y=f(x) 是容易的
- 给定y，计算 x 使得 y=f(x) 是困难的
- 存在δ，已知δ时，对给定的任何y，若相应的x存在，则计 算 x 使 y=f(x) 是容易。
注意：
- 仅满足(1)、(2)两条的称为单向函数；第(3)条称为陷门性，δ 称为陷门信 息。
- . 当用陷门函数f作为加密函数时，可将f公开，这相当于公开加密密钥。此时 加密密钥便称为公钥，记为Pk。 f函数的设计者将δ 保密，用作解密密钥，此时δ 称为私钥，记为Sk。由于加密函数是公开的，任何人都可以将信息x加密成y=f(x)， 然后送给函数的设计者（当然可以通过不安全信道传送）；由于设计者拥有Sk， 他自然可以解出
- 单向陷门函数的第(2)条性质表明窃听者由截获的密文y=f(x)推测x是不可行的
公钥体制基本原理（单向陷门函数）
- 正向计算很容易，如果知道公开秘钥
和消息M容易计算：
- 在不知道私有秘钥
的情况下，方向计算不可行。就算你知道加密后的消息C而不知道私有秘钥
- 在知道私有秘钥
。
配对使用。
RSA加密算法
在Diffie和Hellman提出公钥密码体制的设想两年后，先后 有MH背包公钥密码，Rivest、Shamir、Adleman联合提出 的RSA公钥密码算法，这是目前应用最广的一种公钥密码
RSA的理论基础是欧拉定理，其安全性依赖于大整数的素 因子分解的困难性
基本知识
欧拉定理
- 欧拉函数φ(m)：当 m > 1时,φ(m)表示比m小且与m互素的正整数的个数。比如：m = 4,互为素数的数有1,3。φ(m)=2特别强调1要算进去。
- m是素数时：φ(m) = m-1
- m = pq，且p和q都是素数时：
- 对于任何互素的两个整数a和n，有:
- 当n = p时，
是费马定理,其中 P 是质数，
模基本运算规则
- 结合律
- 交换律
- 分配律
欧拉函数应用举例
算法描述——密钥生成
- 选取两个互异大素数p,q
- 计算n=pq和欧拉函数值
- 选一个整数e,1<e<
,使得gcd(φ(n),e)=1
- 在模φ(n)下,计算e的逆元d,使得ed≡ 1mod φ（n）
我们以(n,e)为公钥,d为密钥，p,q不再需要可以销毁.
在第一步中有素性检测，第四步有欧几里得算法：
具体算法描述
加密：
将明文分组，各组对应十进制数 m<n,计算
解密：
m = D© ≡
注意：
“≡”是数论中表示同余的符号（注意！！这个不是恒等号），
同余的定义是这样的:
给定一个正整数n，如果两个整数a和b满足a-b能被n整除，即(a-b)modn=0，
那么就称整数a与b对模n同余，记作a≡b(modn)，同时可成立amodn=b。
也就是相当于a被n整除余数等于b的意思。
RSA算法解密过程的正确性
RSA举例：
准备好草稿本溜一圈儿，或许你没懂！！！
那么请问d是怎么来的？
逆元d的求解
- 用扩展的欧几里德算法（辗转相除法）
求乘法逆元e=1234，φ(n)=11111，求d？
RSA算法的一些计算问题
- 如何计算
?
- 如何判定一个给定的整数是素数?
- 如何找到足够大的素数p,q?
计算 ：
- (a b) mod n = [(a mod n) x (b mod n)] mod n]
算法归纳
- 选择两个大素数p和q,通常要求每个均大于
。
计算n=p,q和z=φ(n)=(p-1)(q-1)。
找到一个和z互素的e,把它作为公钥。
找到一个d满足ed＝1 (mod z)。 - 选好这些参数后，将明文划分成块，使得每个明文报文 P长度m满足0<m<n。加密P时，计算C＝
，解 密C时计算P＝
。由于模运算的对称性，可以 证明，在确定的范围内，加密和解密函数是互逆的。
- 为实现加密，需要公开(e, n),为实现解密需要(d, n)。
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