学习了李航的《统计学习方法》中隐马尔可夫模型(Hidden Markov Model, HMM)，这里把自己对HMM的理解进行总结(大部分是书本原文，O(∩_∩)O哈哈~，主要是想利用python将其实现一遍，这样印象深刻一点儿)，并利用python将书本上的例子运行一遍。HMM是可用于标注问题的统计学习模型，描述由隐藏的马尔科夫链随机生成观测序列的过程，属于生成模型。HMM在语音识别、自然语言处理、生物信息、模式识别等领域都有着广泛的应用。
一、隐马尔可夫模型的定义
HMM由初始概率分布
、状态转移概率分布A以及观测概率分布B三部分确定。HMM模型
可以用三元符号表示，即：
。A、B、称为HMM的三要素。 设Q是所有可能的状态的集合，V是所有可能的观测的集合。
其中，N是可能的状态数，M是可能的观测数。这里观测状态v是可见的，状态q是不可见的。记I是长度为T的状态序列，O是对应的观测序列，
。
1、则可定义状态转移概率矩阵B如下：
其中
是在时刻t处于状态 qi 的条件下在时刻t+1转移到状态 qj 的概率。
2、观测概率矩阵B定义如下：
其中
是在时刻t处于状态 qj 的条件下生成观测 vk 的概率。
3、初始状态概率向量如下：
其中
是时刻t=1处于状态qj的概率。
二、HMM的两个假设
1、齐次马尔科夫性假设。即隐藏的马尔科夫链在任意时刻 t 的状态只与前一时刻的状态有关，与时刻 t 也无关。
。
2、观测独立性假设。即任意时刻的观测只和该时刻的马尔科夫链的状态有关，与其他观测即状态无关。
。
例题：例子采用书本上的盒子和球模型。
分析：这里一共四个盒子，则表示所有可能的状态有四种Q={盒子1，盒子2，盒子3，盒子4}，N=4。球的颜色只有红白两种，即所有可能的观测为V={红，白}，M=2。
用python中的列表分别表示可能的状态集合Q和观测集合V，用字典存储初始概率分布、状态转移概率分布和观测概率分布。
# 所有可能的状态集合
states = ['盒子1', '盒子2', '盒子3', '盒子4']
# 所有可能的观测集合
observations = ['红球', '白球']
# 初始状态概率分布pi
Pi = {'盒子1':0.25, '盒子2':0.25, '盒子3':0.25, '盒子4':0.25}
# 状态转移概率A
A = {'盒子1':{'盒子1':0, '盒子2':1, '盒子3':0, '盒子4':0},
'盒子2':{'盒子1':0.4, '盒子2':0, '盒子3':0.6, '盒子4':0},
'盒子3':{'盒子1':0, '盒子2':0.4, '盒子3':0, '盒子4':0.6},
'盒子4':{'盒子1':0, '盒子2':0, '盒子3':0.5, '盒子4':0.5}
}
# 观测概率分布B
B = {'盒子1':{'红球':0.5, '白球':0.5},
'盒子2':{'红球':0.3, '白球':0.7},
'盒子3':{'红球':0.6, '白球':0.4},
'盒子4':{'红球':0.8, '白球':0.2}
}为了后面方便处理，这里引入python的numpy库将Pi、A和B转换为矩阵和向量形式。
import numpy as np
# 将初始状态概率转换成向量形式
Pi = np.array([Pi[x] for x in Pi])
print('初始状态pi:', Pi)
# 将初始概率分布转换为矩阵形式
trans_A = np.array([A[x][y] for x in A for y in A[x]])
A = trans_A.reshape((len(A), -1))
print('状态转移概率分步A:', A)
# 将观测概率分布转换成矩阵形式
trans_B = np.array([B[x][y] for x in B for y in B[x]])
B = trans_B.reshape((len(B), -1))
print('观测概率分布B:', B)
观测序列的生成过程
根据隐马尔可夫模型定义，可以将一个长度为T的观测序列
的生成过程描述如下：
算法(观测序列的生成）
输入：隐马尔可夫模型
，观测序列长度 输出：观测序列
。
按照初始状态分布
产生状态
令t=1
按照状态的观测概率分布
生成
按照状态的状态转移概率分布
产生状态
令
；如果
则转步(3)；否则，终止。
分析：对于按照某个概率分布生成状态，这里采用python中的np.random.multinomial函数按照多项式分布，生成数据，然后再利用np.where得到满足条件的元素对应的下标。定义观测序列生成函数generation_observation。
# 定义生成观测序列的函数
def generation_observation(pi, A, B, T):
def random_res(probs):
"""
1.np.random.multinomial:
按照多项式分布，生成数据
>>> np.random.multinomial(20, [1/6.]*6, size=2)
array([[3, 4, 3, 3, 4, 3],
[2, 4, 3, 4, 0, 7]])
For the first run, we threw 3 times 1, 4 times 2, etc.
For the second, we threw 2 times 1, 4 times 2, etc.
2.np.where:
>>> x = np.arange(9.).reshape(3, 3)
>>> np.where( x > 5 )
(array([2, 2, 2]), array([0, 1, 2]))
"""
return np.where(np.random.multinomial(1,probs) == 1)[0][0]
observation_data = np.zeros(T, dtype=int) # 初始化生成的观测序列
observation_states = np.zeros(T, dtype=int) # 观测序列对应的状态
observation_states[0] = random_res(pi) # 根据初始状态分布产生状态1
observation_data[0] = random_res(B[observation_states[0]]) # 由状态1生成对应的观测值
for i in range(1, T):
observation_states[i] = random_res(A[observation_states[i-1]]) # 由前一个状态转变到下一个状态
observation_data[i] = random_res(B[observation_states[i]])
return observation_data, observation_states
observation_data, observation_states = generation_observation(Pi, A, B, 10)
print(observation_data, observation_states)
print('观测序列:', [observations[i] for i in observation_data])
print('状态序列:', [states[i] for i in observation_states])
三、隐马尔可夫模型的3个基本问題
1、概率计算问题。给定模型
和观测序列
,计算在模型
下观测序列O出现的概率
。 2、学习问题。己知观测序列
,估计模型
参数，使得在该模型下观测序列概率
最大。即用极大似然估计的方法估计参数。 3、预测问题，也称为解码（decoding）问题。已知模型
和观测序列
，求对给定观测序列条件概率
最大的状态序列
。即给定观测序列，求最有可能的对应的状态序列。
问题1 概率计算问题
如果直接采用直接计算法的话，需要列举所有长度为T的状态序列 I，然后求出 I 与观测序列O的联合概率，最后再对所有可能的状态序列求和，得到序列O在HMM模型下生成的概率。这样时间复杂度是O(TNT)阶的，这种算法观测序列长度很长的话计算量太大，所以采用前向、后向算法计算概率。
（1）前向算法
首先定义(前向概率）给定隐马尔可夫模型
，定义到时刻t为止的观测序列为
且状态为
的概率为前向概率，记作
输入：隐马尔可夫模型，观测序列
;
输出：观测序列概率
。
初值
递推对
终止
由于到了时间T，一共有N种状态发转移到最后那个观测，所以最终的结果要将这些概率加起来。而每次递推都是在前一次的基础上做的，所以只需累加O(T)次，所以总体复杂度是O(N2T)。
分析：前向概率矩阵alpha是N*T维的，可以先用零初始化，之后再按照前向算法一步一步对其值进行替换。定义前向算法方法forward_compute。再利用例题10.2对其进行验证。
def forward_compute(pi, A, B, o_seq):
T = len(o_seq)
N = A.shape[0]
alpha = np.zeros((N, T)) # 初始化alpha矩阵 N*T维
# print(alpha)
# print(B[:, o_seq[0]])
alpha[:, 0] = pi*B[:, o_seq[0]] # step1 初值
for t in range(1, T):
alpha[:, t] = alpha[:, t-1].dot(A) * B[:, o_seq[t]] # step2 递推
# print(alpha)
return np.sum(alpha[:, T-1]), alpha # step3 终止 对时刻T的alpha求和# 测试 例题10.2
A = np.array([[0.5, 0.2, 0.3], [0.3, 0.5, 0.2], [0.2, 0.3, 0.5]])
Pi = np.array([0.2, 0.4, 0.4])
B = np.array([[0.5, 0.5], [0.4, 0.6], [0.7, 0.3]])
o_seq = [0, 1, 0] # 红、白、红
prob, alpha = forward_compute(Pi, A, B, o_seq)
print('观测概率为：', prob)
print('alpha:', alpha)
（2）后向算法
定义后向概率为给定隐马尔可夫模型,定义在时刻t状态为的条件下，从t+1到T的部分观测序列为
的概率为后向概率，记作
可以用递推的方法求得后向概率
及观测序列概率
。
算法(观测序列概率的后向算法）
输入：隐马尔可夫模型,观测序列:
输出：观测序列概率
(1)初值
根据定义，从T+1到T的部分观测序列其实不存在，所以硬性规定这个值是1。
对
aij表示状态i转移到j的概率，bj表示发射Ot+1，
表示j后面的序列对应的后向概率。
(3)终止
最后的求和是因为，在第一个时间点上有N种后向概率都能输出从2到T的观测序列，所以乘上输出O1的概率后求和得到最终结果。
分析：前向概率矩阵beta也是N*T维的，可以先用零初始化，之后再按照前向算法一步一步对其值进行替换。定义前向算法方法backward_compute。再利用例题10.2对其进行验证。
def backword_compute(pi, A, B, o_seq):
T = len(o_seq)
beta = np.zeros((A.shape[0], T)) # 初始化beta矩阵
beta[:, T-1] = np.ones(A.shape[0]) # step1 初值
for t in range(T-2, -1, -1):
beta[:, t] = np.sum(A*B[:, o_seq[t+1]]*beta[:, t+1], axis=1) # step2 递推
res_prop = np.sum(pi*B[:, o_seq[0]]*beta[:,0], axis=0) # 求观测序列概率
# print(beta)
return res_prop, beta# 测试 例题10.2
A = np.array([[0.5, 0.2, 0.3], [0.3, 0.5, 0.2], [0.2, 0.3, 0.5]])
Pi = np.array([0.2, 0.4, 0.4])
B = np.array([[0.5, 0.5], [0.4, 0.6], [0.7, 0.3]])
o_seq = [0, 1, 0] # 红、白、红
prob, beta = backword_compute(Pi, A, B, o_seq)
print('观测概率：', prob)
print('beta:', beta)
