以决策树为基函数的提升方法称为提升树，提升树的模型可以表示为决策树的加法模型,基函数一般是cart回归树，GDBT是属于boosting的一员，与之对应的还有bagging,对于bagging中代表算法有随机森林，boosting中代表的有adaboost、xgboost等，目前数据挖掘用的比较多的还是boosting。本文目的是介绍学习boosting家族中的GDBT，所有对于bagging与boosting的区别就不深入介绍。GDBT的模型如下：
fM(x)=∑m=1MT(x;Qm) f M ( x ) = ∑ m = 1 M T ( x ; Q m )
在介绍这个算法之前，先深入理解一下梯度的相关问题与应用
什么是梯度
二维的梯度是导数，多维的梯度是不同维度的导数的向量。简单理解：y=x2 y = x 2 导数 y′=2x y ′ = 2 x ,函数x2+y2+z2=1 x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,梯度为(2x,2y,2z) ( 2 x , 2 y , 2 z )
什么是方向导数
想象一下在三维空间中有一个曲面F(x,y,z) F ( x , y , z ) ，取任意一点，从点A沿着球面出发有多少方向可以走呢？答案是无数条,它可以沿着x轴走，可以沿着y轴走，可以沿着z轴走，更可以是以(△x,△y,△z) ( △ x , △ y , △ z ) 为基底的任意方向走。
假设终点为球面上一点B,向量为
AB
A
B
。函数
F(A)
F
(
A
)
到
F(B)
F
(
B
)
,是不是存在了变化？函数值要么变大或者变小，也就是存在变化量，假设上图的性质是连续可导的，那么一定存在导数：
F′=F(B)−F(A)B−A
F
′
=
F
(
B
)
−
F
(
A
)
B
−
A
,如果你忘记了导数所代表的含义，没关系（因为理解导数确实很重要），带你重复复习一下。以函数
y=x
y
=
x
为例吧，它的导数为1，这个导数代表了x方向每增加一个单位，y就会增长1。导数正是反映了函数的变化。与高中物理中的加速度有点像，加速度反映了速度在单位时间内的变化量。如果还是懵懵懂懂，请记住一点，导数是反映了函数的变化程度大小。也就是说，在三维曲面中，对于不确定的点B,向量AB可以是任何方向，函数可以在向量AB的方向上，任意变化，所以就存在了不同方向的导数，也就是方向导数。
F′=F(x+△x,y+△y,z+△z)−F(x,y,z)|(△x,△y,△z)| F ′ = F ( x + △ x , y + △ y , z + △ z ) − F ( x , y , z ) | ( △ x , △ y , △ z ) |
大白话解释这种数学定义可能有些童鞋适应不了，不说了上定义（来自百度百科）：
为什么负梯度方向是函数下降最快方向
把函数假设为二维函数，更容易理解点。随手粗糙的画了一张图。
从点A引一条直线，直线长度为1，向量AB方向，B点对应的y值为1，向量AC方向，点C对应的y值明显小于1。二维场景，同样适用高维情景。上面推导出了方向导数的定义
⅁f⅁l
⅁
f
⅁
l
，方向导数正是反映函数的变化，如果求出某个方向的的方向导数模最大，不就说明变化最大吗？方向导数还有另外一种写法
⅁f⅁l=(⅁f⅁x,⅁f⅁y,⅁f⅁z)∗(cosa,cosβ,cosy)
⅁
f
⅁
l
=
(
⅁
f
⅁
x
,
⅁
f
⅁
y
,
⅁
f
⅁
z
)
∗
(
c
o
s
a
,
c
o
s
β
,
c
o
s
y
)
|⅁f⅁l|=|(⅁f⅁x,⅁f⅁y,⅁f⅁z)|∗|(cosa,cosβ,cosy)|∗cosθ
|
⅁
f
⅁
l
|
=
|
(
⅁
f
⅁
x
,
⅁
f
⅁
y
,
⅁
f
⅁
z
)
|
∗
|
(
c
o
s
a
,
c
o
s
β
,
c
o
s
y
)
|
∗
c
o
s
θ
因为
|(cosa,cosβ,cosy)|=1
|
(
c
o
s
a
,
c
o
s
β
,
c
o
s
y
)
|
=
1
,所以当
cosθ=1
c
o
s
θ
=
1
时候，
|⅁f⅁l|
|
⅁
f
⅁
l
|
最大，也就是与
(⅁f⅁x,⅁f⅁y,⅁f⅁z)
(
⅁
f
⅁
x
,
⅁
f
⅁
y
,
⅁
f
⅁
z
)
梯度方向一致的时候最大,反之负梯度方向下降最大。
损失函数L(y,yhat=f(x,y,z)) L ( y , y h a t = f ( x , y , z ) ) 可以通过梯度下降的方式找到最小值，通过找到负梯度方向，根据一定的步长变化x,y,z。GDBT的思想就是直接把f(x,y,z) f ( x , y , z ) 看做变量，根据一定的步长变化f(x,y,z) f ( x , y , z ) 。
L(y,yhat=fm−1(x,y,z)+learnrate∗(−⅁Lfm−1)) L ( y , y h a t = f m − 1 ( x , y , z ) + l e a r n r a t e ∗ ( − ⅁ L f m − 1 ) )
梯度下降，不停的优化损失函数L的同时，函数
fm(x,y,z)
f
m
(
x
,
y
,
z
)
也不断的更新迭代，迭代到一定的次数损失达到预期值，就得到了一个判别函数
f(x,y,z)
f
(
x
,
y
,
z
)
如果函数
f
f
是树的话，就称为梯度提升树。
fm(x,y,z)=fm−1(x,y,z)+learnrate∗(−⅁Lfm−1)fm(x,y,z)=fm−1(x,y,z)+learnrate∗(−⅁Lfm−1)
现在理解了为什么梯度提升树是集合树加权累加求和的结果了没? GDBT基函数都是cart树，通过一连串的cart树加权求和得到预测或者分类结果，下一篇文章将会以实例详细介绍GDBT的分类与预测的运算过程，帮你彻底搞懂这个666的算法。
