python如何实现一个递增的列表 python求最长递增子序列

文章目录

• 题目介绍
• 题解1：往回遍历
• 题解2：二分查找

题目介绍

• 原题链接：NC163 最长上升子序列(一)
• 描述
  给定一个长度为 n 的数组 arr，求它的最长严格上升子序列的长度
  所谓子序列，指一个数组删掉一些数（也可以不删）之后，形成的新数组。例如 [1,5,3,7,3] 数组，其子序列有：[1,3,3]、[7] 等。但 [1,6]、[1,3,5] 则不是它的子序列
  我们定义一个序列是 严格上升 的，当且仅当该序列不存在两个下标i和j满足 i<ji<j 且$arr_i \geq arr_j$
• 数据范围： $0\leq n \leq 1000$
• 要求：时间复杂度$O(n^2)$， 空间复杂度$O(n)$
• 示例1
  输入：

[6,3,1,5,2,3,7]

• 返回值：

4

• 说明：该数组最长上升子序列为 [1,2,3,7] ，长度为4

题解1：往回遍历

建议新手白脖子先看视频教程：【小鱼老师算法题】python讲解动态规划思想的最长递增子序列问题 另外我的题解是为了方便在本地IDE进行调试，所以没有新建类，而是使用exec函数

li = []
exec('li=' + input())
dp = [1] * len(li)
for i in range(1, len(li)):
    for j in range(i):
        if li[i] > li[j]:
            dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1)
print(max(dp) if li else 0)

• 知识点：动态规划
  动态规划算法的基本思想是：将待求解的问题分解成若干个相互联系的子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解；对于重复出现的子问题，只在第一次遇到的时候对它进行求解，并把答案保存起来，让以后再次遇到时直接引用答案，不必重新求解。动态规划算法将问题的解决方案视为一系列决策的结果
• 思路：
  要找到最长的递增子序列长度，每当我们找到一个位置，它是继续递增的子序列还是不是，它选择前面哪一处接着才能达到最长的递增子序列，这类有状态转移的问题常用方法是动态规划
• 具体做法：
  step 1：用dp[i]表示到元素i结尾时，最长的子序列的长度，初始化为1，因为只有数组有元素，至少有一个算是递增
  step 2：第一层遍历数组每个位置，得到n个长度的子数组
  step 3：第二层遍历相应子数组求对应到元素i结尾时的最长递增序列长度，期间维护最大值
  step 4：对于每一个到iii结尾的子数组，如果遍历过程中遇到元素j小于结尾元素，说明以该元素结尾的子序列加上子数组末尾元素也是严格递增的，因此转移方程为$dp[i]=dp[j]+1$
• 图示：

题解2：二分查找

dp[i]表示从左至右到原序列第i个元素的最长递增子序列的长度，从第i个元素往回遍历更新dp[i]的值。由于每个元素都需要往回遍历一次，时间复杂度是$o(n^2)$。往回遍历如何更新dp[i]的值在题解1中已有很好的介绍，这里主要写用二分法代替往回遍历的过程，时间复杂度是$o(nlog(n))$。

二分法的过程为：首先创建数组arr=[ele_1]，ele_1是原序列第一个元素，然后从第二个元素开始从左至右遍历原序列

1. 如果ele_i > max(arr)，将ele_i加到arr最后
2. 如果ele_i <= max(arr)，用二分法找到arr中第一个比ele_i大（或相等）的元素并用ele_i替换

遍历完成后arr的长度即为最长递增子序列的长度（但arr不是最长递增子序列）。第二步替换是因为遍历到的元素可能会有比ele_i大但比替换元素小的元素，比如原序列为[2,5,8,3,4,6]。

import bisect

li = []
exec('li=' + input())
if not li:
    print(0)
    exit()
dp = [1] * len(li)
sorted_list = [li[0]]
for i in range(1, len(li)):
    if li[i] > sorted_list[-1]:
        sorted_list.append(li[i])
        dp[i] = len(sorted_list)
    else:
        position = bisect.bisect_left(sorted_list, li[i])
        sorted_list[position] = li[i]
        dp[i] = position+1
print(max(dp))