1 #include <iostream>
2 #include <string>
3 #include <cmath>
4 using namespace std;
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6 const int maxn = 105;
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8 int equ, var; // 有equ个方程,var个变元。增广阵行数为equ, 分别为0到equ - 1,列数为var + 1,分别为0到var.
9 int a[maxn][maxn];
10 int x[maxn]; // 解集.
11 bool free_x[maxn]; // 判断是否是不确定的变元.
12 int free_num;
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14 inline int gcd(int a, int b){
15 return b ? gcd(b, a % b) : a;
16 }
17
18 inline int lcm(int a, int b){
19 return a * b / gcd(a, b);
20 }
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22 // 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解,但无整数解,-1表示无解,0表示唯一解,大于0表示无穷解,并返回自由变元的个数)
23 int Gauss(void){
24 int i, j, k;
25 int max_r; // 当前这列绝对值最大的行.
26 int col; // 当前处理的列.
27 int ta, tb;
28 int LCM;
29 int temp;
30 int free_x_num;
31 int free_index;
32 // 转换为阶梯阵.
33 col = 0; // 当前处理的列.
34 for (k = 0; k < equ && col < var; k++, col++){
35 // 枚举当前处理的行.
36 // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
37 max_r = k;
38 for (i = k + 1; i < equ; i++){
39 if (abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col])) max_r = i;
40 }
41 if (a[max_r][col] == 0){
42 // 说明该col列第k行以下全是0了,则处理当前行的下一列.
43 k--;
44 continue;
45 }
46 if (max_r != k){
47 // 与第k行交换.
48 for (j = col; j < var + 1; j++) swap(a[k][j], a[max_r][j]);
49 }
50 for (i = k + 1; i < equ; i++){
51 // 枚举要删去的行.
52 if (a[i][col] != 0){
53
54 LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col]));
55 ta = LCM / abs(a[i][col]), tb = LCM / abs(a[k][col]);
56 if (a[i][col] * a[k][col] < 0) tb = -tb; // 异号的情况是两个数相加.
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58 for (j = col; j < var + 1; j++){
59 a[i][j] = a[i][j] * ta - a[k][j] * tb;
60 }
61 }
62 }
63 }
64 // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
65 for (i = k; i < equ; i++){
66 // 对于无穷解来说,如果要判断哪些是自由变元,那么初等行变换中的交换就会影响,则要记录交换.
67 if (a[i][col] != 0) return -1;
68 }
69 // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行,即说明没有形成严格的上三角阵.
70 //且出现的行数即为自由变元的个数.
71 if (k < var){
72 // 首先,自由变元有var - k个,即不确定的变元至少有var - k个.
73 for (i = k - 1; i >= 0; i--)
74 {
75 // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况,因为这样的行是在第k行到第equ行.
76 // 同样,第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况,这样的无解的.
77 free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数,如果超过1个,则无法求解,它们仍然为不确定的变元.
78 for (j = 0; j < var; j++){
79 if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;
80 }
81 if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.
82 // 说明就只有一个不确定的变元free_index,那么可以求解出该变元,且该变元是确定的.
83 temp = a[i][var];
84 for (j = 0; j < var; j++){
85
86 if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];
87 }
88 x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.
89 free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.
90 }
91 return var - k; // 自由变元有var - k个.
92 }
93 // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
94 // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
95 for (i = var - 1; i >= 0; i--){
96 temp = a[i][var];
97 for (j = i + 1; j < var; j++){
98 if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];
99 }
100 if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解,但无整数解.
101 x[i] = temp / a[i][i];
102 }
103 return 0;
104 }
105
106 int main(void){
107 int i, j;
108 while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF){
109 memset(a, 0, sizeof(a));
110 memset(x, 0, sizeof(x));
111 memset(free_x, 1, sizeof(free_x)); // 一开始全是不确定的变元.
112 for (i = 0; i < equ; i++){
113 for (j = 0; j < var + 1; j++){
114 scanf("%d", &a[i][j]);
115 }
116 }
117 free_num = Gauss();
118 if (free_num == -1) printf("无解!\n");
119 else if (free_num == -2) printf("有浮点数解,无整数解!\n");
120 else if (free_num > 0){
121 printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num);
122 for (i = 0; i < var; i++){
123 if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i + 1);
124 else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
125 }
126 }else{
127 for (i = 0; i < var; i++){
128 printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);
129 }
130 }
131 printf("\n");
132 }
133 return 0;
134 }