机器学习模型做调节效应调节效应模型公式

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码海航行侠 2024-04-11 22:01:48

文章标签 机器学习模型做调节效应经济学考试需求函数产品市场 文章分类 机器学习人工智能

公式

Q:需求
P:价格
C:成本
M:边际
T:总和
R:利润
W:供给
价格弹性：需求变动率/价格变动率
需求价格弹性：平均需求变动率/平均价格变动率
生产函数：，MP=dQ
成本函数：MP=MC=P=dSC
需求函数：MR=dPQ =MC=dC
供给函数: MC*L= dW = MP*P
边际产量收入=边际产量*边际收入,即VMP=MP*P
二元一次方程：
最大效用公式：

题1-收入点弹性：

假定某消费者关于某种商品的消费数量 Q 与收入 M 之间的函数关系为 M=100Q²

求：当收入 M=2500 时的需求的收入点弹性为多少？

解：

已知M = 100Q²，M =2500
求100Q² = 2500,Q²= 25, 所以Q=5.
点弹性公式：= = *
因此Q² = ，所以 Q = =
dM=1, M=2500,所以 = dQ/1 = dQ = =
= , 所以== = 1/ 20*50 = 0.001
= * = 0.001 * 2500/5 = 0.5

题：点价格弹性

某垄断企业的总成本函数为TC=50Q+Q²，收入函数TR=90Q-3Q²，问该垄断企业利润达到最大时，需求曲线上的点价格弹性是多少？

解：

利润最大化：MR=MC
MR = dTR = d(90Q - 3Q²) = 90 - 6Q
MC = dTC = d(50Q + Q²²) = 50 + 2Q
90 - 6Q = 50 + 2Q， Q = 5
因为TR = P*Q ，P = TR / Q = (90Q-3Q²)/Q = 90 - 3Q = 90 - 15 = 75
???价格点弹性Ep = dQ/dP * P/Q = ？？？ * 75/15 = * 5 =
点弹性公式:MR=P(1+1/Ep) ,Ep = P/(MR - P) = P/(90 - 6Q - P) = 75/(90-30 -75) = 75/-15 = -5

题2-交叉价格弹性：

假定在某市场上 A、B 两厂商是生产同种有差异的产品的竞争者；该市场对 A 厂商的需求曲线为

$P_{A}$

=200- $Q_{A}$ ，对 B 厂商的需求曲线为

$P_{B}$

=300-0.5

$Q_{B}$

；两厂商目前的销售量分别为

$Q_{A}$

=50，

$Q_{B}$

=100 。求：（1）A、B 两厂商的需求价格弹性

$E_{A}$

和

$E_{B}$

各是多少？（2）如果 B 厂商降价后，使得 B 厂商的需求量增加为

$Q_{B}$

＝160，同时使竞争对手 A 厂商的需求量减少为

$Q_{A}$

＝40 。那么，A 厂商对 B 厂商的需求交叉价格弹性

$E_{AB}$

是多少？

（1）解：

已知

$P_{A}$

=200-

$Q_{A}$

=50
所以

$P_{A}$

= 200 - 50 = 150
已知

$P_{A}$

=200- $Q_{A}$ ，所以 $Q_{A}$ = 200 - $P_{A}$
d $Q_{A}$ = -1 ，d

$P_{A}$

= 1
$E_{A}$
=

$\frac{dQ}{dP}$

$\frac{P}{Q}$

= -1 * 150/50 = -3
已知

$P_{B}$

=300-0.5

$Q_{B}$

，所以

$Q_{B}$

= 600 -2

$P_{B}$

，其中

$Q_{B}$

= 100
所以

$P_{B}$

= 300- 50 = 250
d

$Q_{B}$

= -2 ，d

$P_{B}$

= 1
$E_{B}$
=

$\frac{dQ}{dP}$

$\frac{P}{Q}$

= -2 * 250/100 = - 5

（2）解：

需求交叉价格弹性

$E_{AB}$

$\frac{\Delta Q_{A}}{Q_{A}}/\frac{\Delta P_{B}}{P_{B}}$

已知

$P_{B}$

=300-0.5

$Q_{B}$

＝160
算的

$P_{B}$

= 300 - 80 =220 ，且变动前

$P_{B}$

= 300 - 50 = 250
求得B的价格差

$\Delta P_{B}$

= 250 -220 =30
B的平均价格

$P_{B}$

= （250+220）/ 2 =235
求得A的需求差

$\Delta Q_{A}$

= 50 -40 =10
A的平均需求

$Q_{A}$

= (50+40)/2 = 45
带入公式

$E_{AB}$

$\frac{\Delta Q_{A}}{Q_{A}}/\frac{\Delta P_{B}}{P_{B}}$

= 10/45 * 235/30 = 1.74

题3-弧交叉价格弹性：

xx年,A 制衣公司的衬衫以每件 200 元的价格每月售出 9000 件,1998 年 1 月,竞争者B将衬衫的价格从 220 元降至 180 元,这个月,A 公司只售出了 8000 件衬衫.

(1)计算 A 公司衬衫与竞争者B 公司衬衫的需求的弧交叉价格弹性(假设 A 公司的衬衫价格不变)；

(2)如果 A 公司衬衫的需求价格弹性为–2.0,又设其竞争者衬衫的价格保持在 180 元的水平上,要使 A 公司的销售恢复到每月 9000 件的水平,价格要降低多少?

（1）解：

弧交叉价格弹性

$E_{AB}$

$\frac{Q_{2}-Q_{1}}{P_{1}-P_{2}}$

$\frac{P_{1}+P_{2}}{Q_{1}+Q_{2}}$

$Q_{1}$
= 9000,

$Q_{2}$

=8000,

$P_{1}$

=220 ，

$P_{2}$

= 180
$E_{AB}$
=

$\frac{8000-9000}{220-180}$

$\frac{220+180}{8000+9000}$

= -1000/40 * 400/17000 = -25 * 0.0235 = 0.588

（2）解：

价格弹性Ep= -2 = 2 =

$\frac{\Delta Q_{A}}{Q_{A}}/\frac{\Delta P_{A}}{P_{A}}$

需求变动

$\Delta Q_{A}$

= 9000 - 8000 =1000
平均需求

$Q_{A}$

= (9000+8000)/2 = 8500
价格变动

$\Delta P_{A}$

= 200 - P
平均价格

$P_{A}$

= (200+P)/2
带入公式 Ep=2 =

$\frac{1000}{8500}/\frac{200-P}{(200+P)/2}$

P = 6600/35 = 188.57

题4-收益最大化：

已知某企业的生产函数为 Q =

$L^{\frac{2}{3}}K^{\frac{1}{3}}$

，劳动的价格 w=2，资本的价格 r=1。求：

（1）当成本 C=3000 时，企业实现最大产量时的 L、 K 和 Q 的均衡值。

（2）当产量 Q=800 时，企业实现最小成本时的 L、K 和 C 的均衡值。

（1）解：

收益最大化公式：

$\frac{MP_{L}}{P_{L}}=\frac{MP_{K}}{P_{K}}$

，劳动边际成本/劳动价格=资本边际成本/资本价格。
因为

$MP=\frac{dQ}{dL}$

，dQ导数，已知：Q =

$L^{\frac{2}{3}}K^{\frac{1}{3}}$

劳动边际产量：对L求导，

$MP_{L} = \frac{2}{3}L^{-\frac{1}{3}}K^{\frac{1}{3}}$

固定边际产量：对K求导

$MP_{K} = \frac{1}{3}L^{\frac{2}{3}}K^{-\frac{2}{3}}$

因为

$P_{L}$

= w = 2，

$P_{K}$

= r = 1
因此

$\frac{\frac{2}{3}L^{-\frac{1}{3}}K^{\frac{1}{3}}}{2}=\frac{\frac{1}{3}L^{\frac{2}{3}}K^{-\frac{2}{3}}}{1}$

，算的K = L
因为

$C = P_{L}*L+P_{K}*K$

，，c=3000
所以3000 = 2*L+1*K
K = L = 1000
Q = K = L = 1000

（2）解：

已知产品Q = 800， Q =

$L^{\frac{2}{3}}K^{\frac{1}{3}}$

因为K=L
所以Q = K = L
K = L = 800
C = 2 * 800 + 1 * 800 = 1600+800 = 2400

题6-最大利润、均衡状态：

在完全竞争市场中的某企业，短期成本函数为 SC=

$Q^{3}-6Q^{2}+30Q+40$

。产品价格为 66 元，正常利润已包括在成本函数之中

（1）求企业最大利润以及相应的产量，此时的平均成本为多少？

（2）假设该企业是全行业的代表，这个行业是否处于均衡状态？为什么？

（1）解：

MR=MC，P=MC = 66.
P = MC = dSC ，66 = 3Q²--12Q+30+0，常数倒数都为0
一元二次方程:

$\frac{-(b)\pm \sqrt{b^{2}-4*a*c})}{2*a}$

0=3Q²-12Q+30-66=3Q²-12Q-36
Q =

$\frac{-(-12)\pm \sqrt{-12^{2}-4*3*(-36)})}{2*3}$

$\frac{12+\sqrt{-576}}{6}$

$\frac{12-24}{6}$

=-2，数量不能为负，不成立。
Q2 =

$\frac{12-\sqrt{-576}}{6}$

$\frac{12+24}{6}$

=6
sc =

$6^{3}-6*6^{2}+30*6+40$

= 216-216+180+40 = 220
平均成本AC = 220/6 = 36.67

（2）解：

R = P*Q - SC = 66*6 - 220 = 396-220 = 176
因为R>0，MR>SC,因此行业不均衡。

题7-垄断企业利润最大化：

假设垄断企业的成本函数为 50+20Q，其面对的市场需求函数为 P=100-4Q。

试求垄断企业利润最大化的产量、价格与利润。

解：

C = 50 + 20Q
PQ = 100Q - 4Q²
MR = d（PQ）= 100 - 8Q
MC = dC =d（ 50 + 20Q ） = 0+20 = 20
因为MR = MC ，所以 100 - 8Q = 20 , 算得 Q = 10
P = 100 - 4Q = 100- 4*10 = 100 - 40 = 60
R = PQ - C = 60*10 - (50+20*10) = 600 - 250 = 350

题8-垄断企业利润最大化：

假定一垄断厂商仅使用劳动 L 去生产其产品，产品按竞争市场中固定价格 4 元出售，生产函数为 Q=3L+1.5L²-0.01L³，劳动供给函数为 W=60+3L，求利润极大时的 L、Q和 W 之值。

解：

垄断利润最大化公式：MR=MC
MR = dR = d(P*Q)，P = 4，已知Q = 3L + 1.5L² - 0.01L³
因为MR = d(12L + 6L² - 0.04L³) = 12 + 12L - 0.12L²
MC = dC = d(W*L), W = 60 + 3L
所以 MC = d(60L + 6L²） = 60 + 6L
因为 12 + 12L - 0.12L² = 60 + 6L
解得

- 0.12L² + 6L - 48 = 0
一元二次方程:

$\frac{-(b)\pm \sqrt{b^{2}-4*a*c})}{2*a}$

$\frac{-(6)\pm \sqrt{6^{2}-4*(-0.12)*(-48)})}{2*(-0.12))}$

$\frac{-6\pm \sqrt{36-23.05})}{-0.24}$

$\frac{-6\pm 3.6}{-0.24}$

求得L1= 9.6/0.24 = 40，或 L2 = 2.4/0.24 = 10
L1带入Q公式，Q1 = 3*40 + 1.5*40² - 0.01*40³ = 120 + 2400 - 640 = 1880
L2带入Q公式，Q2 = 3*10 + 1.5*10² - 0.01*10³ = 30 + 150 - 10 = 170
L1带入W公式，W1 = 60 + 3*40 = 60 + 120 = 180
L2带入W公式，W2 = 60 + 3*10 = 60 + 30 = 90

题：生成函数

某厂商以劳动作为唯一的可变要素，其生产函数为 Q = -0.01L³+L²+36L，Q为厂商每日产量，L为工人的日劳动小时数。已知产品市场与生产要素市场都是完全竞争的，且产品价格为0.1元，小时工资率为4.8元。试问：厂商使用的劳动量是多少？

解：

MPPL = dQ = -0.03 L² + 2L + 36
W = VMPL = P * MPPL =0.1 *（ -0.03 L² + 2L + 36） = 4.8
一元二次方差求解L
L = 20/3 或 L = 60
厂商使用的劳动量为60

题9-最大效用：

已知某消费者每月用2400元购买 X 和 Y 商品，他的效用函数为 U = XY，X 商品的价格为20元，Y 商品的价格为30元，

（1）为获得最大效用，该消费者应该购买 X 商品和 Y 商品各为多少？

（2）求最大总效用

（1）解：

题可得二元一次方程：20X+30Y = 2400
效用函数U = XY 求导可得：

$MU_{X} = Y$

$MU_{Y} = X$

最大效用条件：

$\frac{MU_{X}}{P_{Y}} = \frac{MU_{Y}}{P_{X}}$

，也等于

$\frac{X}{P_{Y}} = \frac{Y}{P_{X}}$

带入

$P_{X}$

= 20，

$P_{Y}$

=30,可得

$\frac{X}{30}$

$\frac{Y}{20}$

，X =

$\frac{30Y}{20}$

将X带入方程求Y ，20 *

$\frac{30Y}{20}$

+30Y = 2400
可得

$Q_{Y}$

= 40，

$Q_{X}$

$\frac{40*30}{20}$

方法二：

20X+30Y = 2400
X = 120 -1.5Y
带入U=XY = (120 -1.5Y) * Y = -1.5Y² + 120Y + 0
一元二次方程，

$\frac{-(b)\pm \sqrt{b^{2}-4*a*c})}{2*a}$

a = -1.5 ,b= 120 ,c = 0
求Y = [0 , 80] , Qy = (80+0)/2 =40
Qx = 120 - 1.5*40 = 120-60 = 60

（2）解：

U = TUX +TUY = 20*60+ 40*30 = 1200+ 1200 = 2400

题2022年8月同考：

生产函数Q = 1000X+2000X²-3X³，当X为200，300，400时

求的MP和AP，
分别属于什么生产阶段。

解（1）：

总产量TP = Q = 1000X+2000X²-3X³
公式：AP = TP/L ，其中L=X，AP = （1000X+2000X²-3X³）/ X
带入X=200，AP1 = 381000
带入X=300，AP2 = 331000
带入X=400，AP3 = 321000
公式MP = dQ/dL ，其中L=X，MP = d（1000X+2000X²-3X³）
求导MP = 1000 + 4000X - 9X²
带入X=200，MP1 = 441000
带入X=300，MP2 = 391000
带入X=400，MP3 = 161000
所以X=200和300时，MP>AP，平均产量是递增
X=400，MP<AP，平均产量是递减

题2014年同考

某完全竞争企业的短期总成本函数为 TC=20+2Q+Q²，其产品价格 P=6

（1）短期均衡时的产量和利润（2）此时该厂商是否继续生产

解1：

利润最大化时MR = MC
MR = d(PQ) , MC = d(TC)
d(PQ) = d(6Q) = 6
d(TC) = d(20+2Q+Q²) = 2+2Q
2+2Q = 6, Q = 2
R = PQ - TC = 6Q - (20 + 2Q + Q²) = 12 - (20 + 4 + 4) = -16
产量 2,利润 -16

解2：

TC = 20 + 2Q + Q² , 其中总固定成本 = 20
TVC = 2Q + Q2
MC = 2 + Q , Q = 2 时
AVC = 2 + 2 = 4 < 6
平均成本4小于价格6，所以可以继续生产。

题00：

请问下列事件对自行车的供给会产生什么影响？

（1）生产自行车的技术有重大革新，

答：--生产成本下降，供给量增加，供给曲线右移。

（2）自行车行业内的企业数目减少；

答：供给减少，价格上升，供求曲线左移。

（3）自行车行业的工人工资和原材料价格上涨，

答：生产成本上升，价格上升，供给量减少

（4）预计自行车的价格会下跌；

答：预计降价，需求减少，供给增加

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