3.滤波问题
根据目前为止所有的测量数据，估计当前的状态，这便是滤波。但是直接计算会有一个很明显的问题，注意到，计算值的条件是过去所有的测量数据，意味着计算每一个时刻都要回顾整个历史测量数据，那么随着时间的推移，更新的代价会越来越大。所以需要找到一种办法，根据时刻t的滤波结果，和时刻t+1的的测量数据，就能计算出t+1时刻的滤波结果，这个计算过程叫做递归估计。用公式表示，存在某个函数f，满足：
为了得到上面那个函数，对要求的概率做一下变换
第一步到第二步根据贝叶斯方程，第二步到第三步根据观测假设。第三步的前一项是转态转移概率，模型已知，后面一项是一个单步预测，对单步预测做进一步的转换：
式中第一步比较好理解，t+1时刻某个状态可能由t时刻任何一个转态转移而来，所以t+1时刻某个状态的概率就等于t时刻所有可能状态的概率乘以相应的转移概率求和，第一步到第二步是根据贝叶斯方程，第二步到第三步根据马尔科夫假设。注意到第三步的第一项是状态转移概率，模型已知，第二项即t时刻的滤波结果，这样我们就可以利用t时刻的滤波结果递推t+1时刻的滤波结果了。递推公式可以表示为，
这种方法被称为前向递归。这里表示的状态是离散度，如果是连续求和的符号改为积分符号即可。
但这种方法有个最大的问题就是有确切的模型，也就是说状态转移概率和观测概率必须是已知的，但大多数情况它们并不是已知，当然可以通过学习得到，但学习本身并不是那么容易的，如何才能在模型未知的情况下，实现上述递推？卡尔曼滤波可以巧妙的解决。
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所有滤波问题其实都是求感兴趣的转态的后验概率分布，只是由于针对特定条件的不同，可以通过求解递归贝叶斯公式活得后验概率的解析解（KF,EKF,UKF），也可通过大数统计平均求期望的方法来获得后验概率（PF）。
1、KF、EKF、UKF
1.1 定义
KF、EKF、UKF都是一个隐马尔科夫模型与贝叶斯定理的联合实现。是通过观测信息及状态转移及观测模型对转态进行光滑、滤波及预测的方法。而KF、EKF及UKF的滤波问题都可以通过贝叶斯转态信息的后验概率分布来求解。Kalman在线性高斯的假设下，可以直接获得后验概率的解析解；EKF是。。。（本文先只学Kalman）
1.2 原理
KF滤波问题是一个隐马尔科夫模型与贝叶斯定理联合表现。一般的转态模型可以分为转态转移方程和观测方程，而状态一般都是无法直接检测到的，所以是隐马尔科夫模型。
然后，它将上一时刻获得的状态信息的后验分布作为新的先验分布，利用贝叶斯定理，建立一个贝叶斯递推过程，从而得到了贝叶斯递推公式，像常用的卡尔曼滤波，扩展卡尔曼滤波，不敏卡尔曼滤波以及粒子滤波都是通过不同的模型假设来近似最优贝叶斯滤波得到的。这也是滤波问题的基本思路。所有贝叶斯估计问题的目的都是求解感兴趣参数的后验概率密度。
并且后验概率的求解是通过递推计算目标状态后验概率密度的方法获得的。在贝叶斯框架下，通过状态参数的先验概率密度和观测似然函数求解估计问题；在目标跟踪背景下（隐马尔科夫模型），目标动态方差觉得状态转移概率，观测方程决定释然函数。一般化的整个计算过程可以分为3步：
- 一步状态预测：通过状态转移概率及上一时刻的后验概率算出一步预测概率分布。从而得到状态预测的均值和方差。
- 归一化系数计算：通过对似然函数与一步转态预测概率的乘积中的状态进行积分，可以得到观测转移的概率分布，从而得到目标观测的均值和方差，并可算出卡尔曼增益（用来权衡预测与观测对状态滤波的贡献）
- 然后利用递推贝叶斯公式算得状态的后验概率，从而得到目标状态的均值和方差（高斯乘积定理）
KF可以直接得到解析解。
Kalmanlfilter
动态方程和观测方程是线性高斯的，且k-1时刻的后验概率也是高斯的（近似高斯分布使得计算很方便，仅用均值和方差就可以完全界定高斯分布）
主要就是实现贝叶斯地推公式的求解，需要有概率、矩阵、积分运算的基本只是，再结合高斯乘积定理。
