本篇内容分为两部分：滞后算子和季节性模型，其中介绍前者既回顾了之前的内容，也为介绍后者做了铺垫。
1 滞后算子
时间序列模型中的自回归项和移动平均项都可以使用滞后算子（Lag Operator）进行方便地表示。如可以被表示为。
- 对于常数而言，它的任意滞后项都还是它本身，即。
- 分配律
滞后算子满足分配律：。
- 结合律
滞后算子满足结合律：
根据以上性质，对于ARMA(, )，有
进而有
上式是ARMA(, )模型的一个特解，它的展开式是一个MA()过程。
滞后算子有如下几个常用的公式：
当时，
当时，
当时，
2 季节性模型
2.1 示例数据
许多时间序列数据都带有一定的季节性。USAccDeaths数据集是R中系统自带的数据，它储存的是美国1973-1978年逐月的意外死亡人口数。
data <- c(USAccDeaths)
plot(USAccDeaths, type = "l")
points(USAccDeaths, pch = 21, col = "red", bg = "white")
从图中可以看出该序列存在明显的周期性。下面再绘制出它的ACF和PACF图象：
acf(data, lag.max = 48)
pacf(data, lag.max = 48)
从ACF图象中可以看出，相差6六个月的月份之间的意外死亡人口数呈现明显负相关（），而相差12个月则呈现明显正相关（），这也表明数据序列的周期性可能与季节因子有关。
由于许多时间序列的周期性都与季节因子相关，因此周期性和季节性两个概念在时间序列分析中常常混用。
2.2 普通季节模型
考虑如下两个模型：
model.1:
model.2:
对于model.1，它的自相关系数的特点是：当为周期的整数倍时，，其余为0，也就是呈现出间断指数递减的态势。假定、，使用arima.sim()函数模拟该序列数据，并绘制序列走势图和ACF图象：
y1 <- arima.sim(model = list(order = c(4,0,0),
ar = c(0,0,0,0.5)),
n = 200)
plot(y1, type = "l")
acf(y1)
对于model.2，它的自相关系数在时存在一个峰值，而在其他处均为0。同样，假定、模拟该序列数据：
y2 <- arima.sim(model = list(order = c(0,0,4),
ma = c(0,0,0,0.5)),
n = 200)
plot(y2, type = "l")
acf(y2)
从数据集USAccDeaths所对应的ACF图象上看，除了在12的整数倍呈现峰值外，在单个周期内自相关系数也呈现递减趋势，而非直接截尾为0，这表明该序列数据在季节性之外还存在非季节性。现实中的数据也往往不会如model.1和model.2所刻画的那么理想。
可以使用以下模型尝试对USAccDeaths数据集进行拟合：
model.3:
model.4:
由于上述模型中有许多滞后值的系数为0，可以使用fixed参数进行设置：
(model.3 <- arima(data, order = c(12,0,0),
fixed = c(NA, rep(0,10), NA, NA)))
## arima(x = data, order = c(12, 0, 0), fixed = c(NA, rep(0, 10), NA, NA))
##
## Coefficients:
## ar1 ar2 ar3 ar4 ar5 ar6 ar7 ar8 ar9 ar10 ar11 ar12
## 0.3442 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.6300
## s.e. 0.0648 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0662
## intercept
## 9176.4060
## s.e. 685.9749
##
## sigma^2 estimated as 214051: log likelihood = -548.73, aic = 1105.47
(model.4 <- arima(USAccDeaths, order = c(1,0,12),
fixed = c(NA, NA, rep(0,10), NA, NA)))
## arima(x = USAccDeaths, order = c(1, 0, 12), fixed = c(NA, NA, rep(0, 10), NA,
## NA))
##
## Coefficients:
## ar1 ma1 ma2 ma3 ma4 ma5 ma6 ma7 ma8 ma9 ma10 ma11
## 0.7241 0.0028 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## s.e. 0.0946 0.1432 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## ma12 intercept
## 0.7203 8953.6706
## s.e. 0.1365 328.2761
##
## sigma^2 estimated as 235875: log likelihood = -552.24, aic = 1114.47从AIC和模型简洁性的角度上看，model.3都优于model.4。下面再比较二者的预测值与实际值的差距：
fit.3 <- data - model.3$residuals
fit.4 <- data - model.4$residuals
plot(data, type = "l")
lines(1:72, fit.3, col = "red") # model.3
lines(1:72, fit.4, col = "blue") # model.4
2.3 乘法季节模型
假设示例数据中的非季节性由AR(1)过程控制，该过程使用滞后算子可以书写成；假设季节性由model.1所示的过程控制，其中，该过程使用滞后算子可以书写成。
同理，若示例数据中的非季节性和季节性分别由MA过程控制，那么可以分别写作和。
在上节所示的普通季节模型中，其思想是将控制季节性和非季节性的过程进行相加。如果要考虑二者的相互影响，可以使用乘法季节模型，如：
model.5:
或者，
model.6:
上述两式展开后可以得到ARMA模型的一般形式，并且其阶数高于周期12，但其需要估计的系数并没有增加。
实际运用中并没有必要将上述两式展开，它们可以写成ARIMA(, , )(, , )的形式，其中、、为非季节性过程的参数，、、为非季节性过程的参数，为周期。前面已经提过，对于ARMA模型，、。具体地，model.5可以写作ARIMA(1,0,0)(1,0,0)，model.6可以写作ARIMA(1,0,1)(0,0,1)。
上述形式可以直接使用arima()函数进行估计：
(model.5 <- arima(USAccDeaths, order = c(1,0,0),
seasonal = list(order = c(1,0,0), period = 12)))
## arima(x = USAccDeaths, order = c(1, 0, 0), seasonal = list(order = c(1, 0, 0),
## period = 12))
##
## Coefficients:
## ar1 sar1 intercept
## 0.7579 0.8501 9214.7102
## s.e. 0.0768 0.0498 676.1701
##
## sigma^2 estimated as 127203: log likelihood = -533.45, aic = 1074.89
(model.6 <- arima(USAccDeaths, order = c(1,0,1),
seasonal = list(order = c(0,0,1), period = 12)))
## arima(x = USAccDeaths, order = c(1, 0, 1), seasonal = list(order = c(0, 0, 1),
## period = 12))
##
## Coefficients:
## ar1 ma1 sma1 intercept
## 0.6849 0.0907 0.7060 8947.0658
## s.e. 0.1065 0.1332 0.1287 311.2709
##
## sigma^2 estimated as 235882: log likelihood = -552, aic = 1114.01从结果上看，model.5要优于model.6。下面对比model.5和普通季节模型中的优胜者model.3之间的预测值差异：
fit.5 <- data - model.5$residuals
plot(data, type = "l")
lines(1:72, fit.3, col = "red", lty = 2) # model.3
lines(1:72, fit.5, col = "red") # model.5
- 上图中，黑色实线为真实数据，红色虚线为使用普通季节模型（
model.3）预测的结果，红色实线表示使用乘法季节模型（model.5）预测的结果。可以看出后者的拟合度更高。
