一、公式拆解
\(PID\)公式展示：
\[u(t)=K_p(e(t)+\frac{1}{T_t } ∫_0^te(t)dt+T_D \frac {de(t)}{dt}) \]
把\(K_p\)乘进去得：
\[u(t)=K_pe(t)+\frac{K_p}{T_t } ∫_0^te(t)dt+K_pT_D \frac {de(t)}{dt} \]
令 \(K_p\)
令 \(K_i=\frac{K_p}{T_t }\)
令 \(K_d=K_pT_D\)
就变成了这个亚子：
\[u(t)=K_p e(t)+K_i ∫_0^te(t)dt+K_d\frac{de(t)}{dt} \]
对于这个式子，其实涵盖了三种控制算法，每一种都可以单独拿出来。
比例控制算法\(P\)：\(u(t)_1=K_p e(t)\)
积分控制算法\(I\)：\(u(t)_2=K_i ∫_0^te(t)dt\)
微分控制算法\(D\)：\(u(t)_3=K_d\frac{de(t)}{dt}\)
你没有看错！PID算法其实就是三个算法的组合，而且，在数学上面就是简单的代数和！ |
二、基于物理进程的解释
A.比例控制算法
在这里面，\(e(t)=目标值-当前值\)，自然是离散数据，也就是说\(u(t)_1=K_p e(t)\)这个输出是根据当前值和目标值的差，乘以了一个比例系数得到的输出，
举个例子，假如我们要给一个100ml的A量筒装满水，此时A量筒里面已经有了20ml的水。而我们运水的工具是一个实际容积未知的B杯子。
我们假如B杯子是一个50ml的杯子（我们并不知道是50ml），给其划上100等分的刻度，
那么根据条件可得 \(T_1=e(t)=目标值-当前值=100-20=80\) 。因此现在我们给B杯子装入可达第80刻度线的水并“一滴不漏”倒入A量筒，由于B杯子实际容积为50ml，所以实际倒入A量筒的水体积为40ml。
可以发现，我们要给100ml的量筒装满水，通过量筒的刻度我们轻易能获知还需要倒80ml才能装满杯子，但是B杯子的容积我们并不知道。我们给未知容积的B杯子划上刻线，以获知的80这个数据来给A量筒倒水，最好的情况是我的B杯子容积为100ml，这样的话按照80的刻度，一次性就可以把水加满。由于B杯子容积只有50，所以第一次加水只加了40ml，这便是比例系数的引入。
（这之间读者务必注意你的已知和未知）
从上文举的例子，我们可以明白，我们获知量和得知该量继而调整输出之间是难以对等的，例子中都是容积，实际上做控制时，将会是跨物理单位的转换，比如你获知你的小车速度设定为3m/s，实际只有2m/s，但你不可能直接给小车送定额的速度。你只能去调整等效电压、电流的大小，或者是PWM的占空比以使得速度达到3m/s，速度和电压必然是不对等的，但这之间会存在一个未知的关系，在这里，你可以认为是比例系数。
单纯以容积的刻度作为比照，此处B杯子50ml（我们刻了100等分刻度），所以虽然我们不知道容积，但这个过程，B杯子一个刻度的水量相当于A量筒的刻度的一半，所以实际上 Kp=0.5 |
（务必注意此处的0.5是根据刻度转换得来的，也就是你心中的量度转化为实际输出的关系，我看有些文章以容积为对比，这显然错误）
让强迫症把上面物理进程讲完吧 |
加了40ml水后，A量筒水位达到20+40=60ml的刻度，\(T_2=e(t)=目标值-当前值=100-60=40\)
依照这个40，B杯子加水到40刻度，\(K_p e(t)=0.5\times40=20ml\)，倒进A之后水位达到60+20=80ml，如此不断无穷循环下去，A量筒最终会被装满。
（例子举的是B容积小于A量筒的情况，各位看官可以自行假想B容积大于A量筒的情形。我们使用时肯定是会逐步修正这个系数的）
B.积分控制算法
照前面比例控制算法，量筒最终会被装满，那么为何还需要别的算法呢？客官莫急，待老朽与您娓娓道来（娓娓道来：形容谈论不倦，或说话动听，没错，我是后者）
刚才比例控制算法那段内容我给“一滴不漏”特别标成了红色，实际上我们真的能一滴不漏吗？当然不能！
回到之前举的装水问题，现在已经装了\(80ml\)，现在我们多加入一个条件，那就是我们每次加水，都会漏掉10ml。
现在可得\(e(t)_2=100-80=20\)，那么按照比例控制算法，我们通过B杯子加进去能加入10ml的水，但是现在又会漏掉\(10ml\)，\(10ml-10ml=0ml\)，哦豁，加完水还是\(80ml\)，之后条件不变，意味着\(80ml\)到头了，升不上去了，可是到此为止离我们的目标100ml还差20ml呢！
现实中就是这样，你不可能想给多少那边就接收多少。
于是这里我们加入积分控制算法，
\[u(t)_2=K_i ∫_0^te(t)dt \]
\[u(t)=u(t)_1+u(t)_2=K_p e(t)+K_i ∫_0^te(t)dt \]
可以看到这个式子与误差的积分成正比，在积分系数已经定下时（时间肯定取单位时间），误差的积分越大，这个积分控制算法得到的也越大，先设它积分系数为0.2，接着上面的80ml继续计算，已知比例控制算法的输入和漏掉的相等，那么这是整个\(PI\)算法只需要看积分控制算法的输出就行了，，故积分控制输出4ml，很显然，积分控制的加入打破了之前的稳定状态。积分的来源是误差，误差的累加会增大输入，从而不让系统卡在稳定误差，事实上另一方面积分项也加快了整体控制算法的响应速度（因为\(e(t)\)的符号，让正的值更大，负的更小）。
最后到了目标值后，假如没有波动，回过去看看三种控制算法，貌似无论是比例还是微分控制，输出都是0，只有积分的值是固定输出(积分误差累加)，很显然，就是为了消除之前那种稳定状态的静差。（静差:被控量的稳定值和给定值之差，一般用于衡量系统的准确性）静差很难被消除，但是通过积分控制可以尽量去减小，而且积分系数不可太大，太大静差反而更大，有网友给出就平衡车工程经验而言，一般\(K_i=\frac{K_p}{200}\)，稍微来点就可以。
C.微分控制算法
这里就是对误差进行微分：
\[\frac{de(t)}{dt}=Error(now)-Error(past) \]
①当 当前值<目标值 时：一般在该调节过程中，误差是越来越小的(正实数运算)，这也就可以得
\[Error(now)-Error(past)<0 \]
对于主要的比例控制而言，此时\(e(t)>0\)，二者符号相反，换言之，这里微分控制起到了削减比例控制力度的作用
②当 当前值>目标值 时： 输出过大，需要减小，对于比例控制，\(e(t)<0\)，反观微分控制:
\[Error(now)<0 \]
\[Error(past)<0 \]
\[|Error(now)|<|Error(past)| \]
\[-Error(now)<-Error(past) \]
\[Error(now)>Error(past) \]
\[Error(now)-Error(past)>0 \]
哦豁，符号又和比例控制相反，太显然了，这明摆着就是和主要的比例控制唱反调啊！太嚣张了!
如果愿意的话，还可以细究一些量的关系，这里就不多说了。
最终结论就是微分起到阻尼作用，减小震荡，提高稳定，减小变化趋势，但是也会降低响应速度。
总结一下，PID三个字母，大致可以说是P主管响应，I减小静差，D抑制震荡，但使用不当还会有反作用。
三、C语言代码框架和解释(单片机可用）
1、定义一个PID结构体代码
//定义一个PID结构体
typedef struct PID
{
double SetValue; //设定的目标值
double Kp; //比例系数
double Kd; //微分系数
double Ki; //积分系数
double Error1; //误差量，即为当前值和目标值的差
double Error2;//也是误差量，但是这里是Error1之后时间的当前值和目标值的差，假设Error1在前
double sum_error; //误差的总和，这个就是误差的积分
}PID;2、初始化PID结构
//初始化PID结构，这里独立出来比较符合单片机的写法，哈哈，也可以写到主函数里面去
void PIDInit(PID*Stru) //这里就是随便弄了个结构体变量Stru，反正是传递地址，主函数里面随意
{
memset(Stru,0,sizeof(PID)); /*这里把Stru的内存块中全部替换为0，据我的经验，一开始分配好内存后都是些无意义数据或者残留数据，这里memset函数的作用实际上把Stru里面所有字节最后“sizeof(PID)”位的字节全部替换为0，因为这里位数为sizeof(PID)，因此是初始化全部字节为0 */
}
//PID的内部运算函数
double PID_OP(PID*Stru , double NewValue) //NewValue是新读取到的值
{
double dError，Error; //dError即为对误差微分，由于我们这里是处理离散数据，所以待会其实就是作差
//误差计算
Error= Stru->SetValue-NewValue; //这里是目标值和当前读取值的偏差，这里吧，无论是当前值在前还是目标值在前都是无所谓的，因为对于整个PID而言，误差的比例算法、积分算法、微分算法都是统一用的。不过话说回来，我不知道使用者是打算用什么负号表示输出，姑且这么用吧，使用者用时根据自己的理解用吧，毕竟咱这里只是个大体框架。
//加入微分算法
dError=Stru->Error2-Stru->Error1; //当前微分计算（离散）注意，这里如果误差越来越小的话无疑这里微分是负值
//加入积分算法
Stru->Sum_Error+=Error; //积分运算
Stru->Error1=Stru->Error2; //新误差值传递给旧误差，如此往复传递，为下个离散时间点PID的计算做准备
Stru->Error2=Error; //这里一开始Error2应该是0，但无所谓，这里计算过程用时是循环，后面会有值堆上去。
return(Stru->Kp*Error+Stru->Ki*Stru->Sum_Error+Stru->Kd*dError); //按颜色不同，分别为比例、积分、微分。但是可以注意的是，这里并不是初始的PID系数。在这个PID框架里面，很明显，是把初始的PID数学式展开了，后面的微积分两个系数都是和比例系数发生了运算的，这不影响。
}3、输入函数和输出函数
//输入函数和输出函数，叫输入输出系统好些
//这里输入的就是读取编码盘数据，输出就是“控制器的输出”，大致就是改变PWM啥的吧，这个之后再说也行。这里就不能具体写了，是单片机的特色部分，本来我是不打算写上去的，不过参考的罗世洲先生的代码里面提到了这个，鄙人思索之下还是加上去了，毕竟框架嘛，嚯哈哈
void Input() //采集编码盘或别的数据
{
//加油
}
void System_Out(PID_out) //注意这里不是PID输出，而且根据PID结果进而进行相应硬件输出
{
//加油
}4、定时器初始化函数
//定时器初始化函数
//设置定时中断作为控制周期
void time_interrupt_Init(这里可以放装填初值啥的，随意)
{
这里进行一些启动定时器中断、设置工作方式、装填初值啥的骚操作
}5、中断函数
//中断函数
void Timer0() interrupt 1 //这里我当做51来做了
{
定时器硬件的装初值或其它操作语句，具体硬件具体分析;
PID_in=Input(); //执行输入函数，读取输入
PID_out=PID_OP(&Squ,PID_in); //运行PID的运算函数，得出PID_out,好用于系统输出函数
System_Out(PID_out); //系统输出
}6、主函数
//主函数
void main()
{
PID Squ; //Squirtle是杰尼龟的英文名，杰尼龟在咱们国家被亲切叫做憨批龟，开个玩笑，这个结构体变量就用憨批龟吧！
double PID_out,PID_in; //定义PID的数据来源和数据输出
PIDInit(&Squ); //执行PID初始化函数，其实这里就只是全部存成0，记得吧，之前说的那个memset函数。
Squ.Kp=0.5; //设置比例系数，当然三个系数和目标值不一定得就这么赤裸裸写出来，换成读取感觉更灵活，随意
Squ.Ki=0.5; //设置积分系数
Squ.Kd=0.1; //设置微分系数，值得注意的是，物理进程里面这里起到阻尼作用，无论是对动态还是静态的阻尼，这都是一个“往回扳”的作用，变化越快阻尼也越大
Squ.SetValue=100.0; //设置目标值，这里是随便弄的
void time_interrupt_Init(这里可以放装填初值啥的，随意) //初始化定时器
while(1); //程序停在这里等待中断发生
主函数里面还可以放一些存储调试数据的语句，这种语句优先等级低，在不干扰正常操作情况下存储或者发送调试数据，个人认为对调试有一定帮助（强烈推荐eeprom）;
}P.S.:我们在PID控制中不可能处理并且输出连续数据，因此这本文档中都是处理离散数据，而这些离散数据的源头是编码盘或者其它硬件，这也就意味着必须考虑采集数据的装置的采集速度、周期。采集完后又得CPU进行处理，处理又需要时间，电压或者电流的响应也需要时间。为了不让其中发生“碰撞”，这就需要我们去设置一个控制周期，调整好二者，给予二者良好配合的空间。 |
四、PID归纳
写程序不难，难的是调出一个好的参数
在实际使用中，不一定非要把P、I、D三个算法都用上
依据需要进行组合使用吧
各个系数的作用表
性能指标 | 参数 | ||
Kp增大 | Ki减小 | Kd增大 | |
偏差 | 增大 | 增大 | 减小 |
稳态误差 | 减小 | ----- | ----- |
超调量 | 增大 | 增大 | 减小 |
振荡频率 | 增大 | 增大 | 增大 |
