JAVA两个正数相除向上取整 两个整数相除代码

题目

给定两个整数，被除数 dividend 和除数 divisor。将两数相除，要求不使用乘法、除法和 mod 运算符。
返回被除数 dividend 除以除数 divisor 得到的商。
整数除法的结果应当截去（truncate）其小数部分，
例如：truncate(8.345) = 8 以及 truncate(-2.7335) = -2

说明：
当 needle 是空字符串时我们应当返回 0 。这与 C 语言的 strstr() 以及 Java 的 indexOf() 定义相符。

示例 1：

输入: dividend = 10, divisor = 3
输出: 3
解释: 10/3 = truncate(3.33333..) = truncate(3) = 3

示例 2：

输入: dividend = 7, divisor = -3
输出: -2
解释: 7/-3 = truncate(-2.33333..) = -2

提示：
被除数和除数均为 32 位有符号整数。
除数不为 0。
假设我们的环境只能存储 32 位有符号整数，其数值范围是 $[−2^{31}, 2^{31 − 1}]$。本题中，如果除法结果溢出，则返回$2^{31 − 1}$。

接下来看一下解题思路：

思路一：常规解法：

    除法其实就是看被除数可以被 除数减几次。
    根据题目要求还需要考虑溢出问题：
如果除法结果溢出，那么我们需要返回 $2^{31 - 1}$

• 当被除数为 $32$ 位有符号整数的最小值 $-2^{31}$ 时：
          如果除数为 $1$，那么我们可以直接返回答案 $-2^{31}$；
          如果除数为 $−1$，那么答案为 $2^{31}$，产生了溢出。此时我们需要返回 $2^{31 - 1}$。
• 当除数为 $32$ 位有符号整数的最小值 $-2^{31}$时：
          如果被除数同样为 $-2^{31}$，那么可以直接返回答案 $1$；对于其余的情况，返回答案 $0$。
          当被除数为 $0$ 时，可以直接返回答案 $0$。

对于一般的情况，根据除数和被除数的符号，需要考虑 $4$

如果我们将被除数和除数都变为正数，那么可能会导致溢出。例如当被除数为 $-2^{31}$时，它的相反数 $2^{31}$产生了溢出。因此，可以考虑将被除数和除数都变为负数，这样就不会有溢出的问题，在编码时只需要考虑 $1$

如果我们将被除数和除数的其中（恰好）一个变为了正数，那么在返回答案之前，我们需要对答案也取相反数。

public static int divide(int dividend, int divisor) {
    // 考虑被除数为最小值的情况
    if (dividend == Integer.MIN_VALUE) {
        if (divisor == 1) {
            return Integer.MIN_VALUE;
        }
        if (divisor == -1) {
            return Integer.MAX_VALUE;
        }
    }

    // 考虑除数为最小值的情况
    if (divisor == Integer.MIN_VALUE) {
        return dividend == Integer.MIN_VALUE ? 1 : 0;
    }

    // 考虑被除数为 0 的情况
    if (dividend == 0) {
        return 0;
    }

    // 将所有的正整数取反，就只用考虑一种情况
    int rev= 1;
    if (dividend > 0) {
        dividend = -dividend;
        rev *= -1;
    }
    if (divisor > 0) {
        divisor = -divisor;
        rev *= -1;
    }

    int ans = 0;
    while (dividend <= divisor) {
        dividend -= divisor;
        ++ans;
    }
	// 给结果带上符号
    return rev*ans;
}

思路二：思路一优化：

    上面这种思路显然效率比较低，对于一次次减是不可行的, 可以减除数的2倍,然后结果+2,4倍+4… 故不停的左移除数, 直到其大于被除数的一半, 然后减去, 右移除数使其小于被除数,减去…依次类推, 直到被除数小于原始除数.

public static int divide2(int dividend, int divisor) {
    boolean symbol = true;
    if (dividend > 0) {
        dividend = -dividend;
        symbol = false;
    }
    if (divisor > 0) {
        divisor = -divisor;
        symbol = !symbol;
    }
    int result = 0;
    // 直到被除数小于原始除数
    while (dividend <= divisor) {
        int n = 1;
        while (true) {
            int compare = dividend >> n;
            if (compare >= divisor) {
                result -= (1 << (n - 1));
                dividend = dividend - (divisor << (n - 1));
                break;
            }
            n++;
        }
    }
    return symbol ? (result == Integer.MIN_VALUE ? Integer.MAX_VALUE : -result) : result;
}

思路三：二分查找：

$X$，除数为 $Y$，并且 $X$ 和 $Y$ 都是负数。需要找出 $X/Y$ 的结果 $Z$。$Z$ 一定是正数或 $0$。

根据除法以及余数的定义，我们可以将其改成乘法的等价形式，即：
$Z \times Y \geq X > (Z+1) \times Y$
因此，可以使用二分查找的方法得到 $Z$，即找出最大的 $Z$ 使得 $Z \times Y \geq X$

由于不能使用乘法运算符，因此需要使用「快速乘」算法得到 $Z \times Y$ 的值。「快速乘」算法与「快速幂」类似，前者通过加法实现乘法，后者通过乘法实现幂运算。「快速乘」算法只需要在「快速幂」算法的基础上，将乘法运算改成加法运算即可。

细节

由于只能使用 $32$

• 首先，二分查找的下界为 $1$，上界为 $2^{31- 1}$。唯一可能出现的答案为 $2^{31}$的情况已经在「思路一」部分进行了特殊处理，因此答案的最大值为 $2^{31 - 1}$。如果二分查找失败，那么答案一定为 $0$。
• 在实现「快速乘」时，我们需要使用加法运算，然而较大的 $Z$ 也会导致加法运算溢出。例如我们要判断 $A + B$ 是否小于 $C$ 时（其中 $A, B, C$ 均为负数），$A + B$ 可能会产生溢出，因此我们必须将判断改为$A < C - B$ 是否成立。由于任意两个负数的差一定在 $[-2^{31} + 1, 2^{31-1} ]$

public static int divide1(int dividend, int divisor) {
    // 考虑被除数为最小值的情况
    if (dividend == Integer.MIN_VALUE) {
        if (divisor == 1) {
            return Integer.MIN_VALUE;
        }
        if (divisor == -1) {
            return Integer.MAX_VALUE;
        }
    }

    // 考虑除数为最小值的情况
    if (divisor == Integer.MIN_VALUE) {
        return dividend == Integer.MIN_VALUE ? 1 : 0;
    }

    // 考虑被除数为 0 的情况
    if (dividend == 0) {
        return 0;
    }

    // 一般情况，使用二分查找
    // 将所有的正整数取反，就只用考虑一种情况
    boolean rev= false;
    if (dividend > 0) {
        dividend = -dividend;
        rev = !rev;
    }
    if (divisor > 0) {
        divisor = -divisor;
        rev = !rev;
    }

    int left = 1;
    int right = Integer.MAX_VALUE;
    int ans = 0;
    while (left <= right) {
        // 注意溢出，不能使用除法
        int mid = left + ((right - left) >> 1);
        boolean check = quickAdd(divisor, mid, dividend);
        if (check) {
            ans = mid;
            // 注意溢出
            if (mid == Integer.MAX_VALUE) {
                break;
            }
            left = mid + 1;
        } else {
            right = mid - 1;
        }
    }
    return rev ? -ans : ans;
}

// 快速乘
private static boolean quickAdd(int y, int z, int x) {
    // x 和 y 是负数， z 是正数
    // 需要判断 z * y >= x 是否成立
    int result = 0;
    int add = y;
    while (z != 0) {
    	// 处理乘数是奇数的情况
        if ((z & 1) != 0) {
            // 需要保证 result + add >= x
            //保证 result >= x，
            // 这里提前计算了result 值，所以新的result 值等于 result + add
            if (result < x -add) { //以防溢出，提前计算result 值,并变换不等式
                return false;
            }
            result += add;
        }
        //下面处理乘数为偶数的情况
        //保证 y + y >= x ,这里的y值就是后面累加数
        if (z != 1) {
            // 需要保证 add + add >= x
            //防溢出，提前计算y值，并变换不等式
            if (add < x - add) {
                return false;
            }
            add += add;
        }
        // 不能使用除法
        z >>= 1;
    }
    return true;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(\log^2 C)$，其中 $C$ 表示 $32$ 位整数的范围。二分查找的次数为 $O(\log C)$，其中的每一步我们都需要 $O(\log C)$ 使用「快速乘」算法判断 $Z \times Y \geq X$ 是否成立，因此总时间复杂度为 $O(\log^2 C)$。
• 空间复杂度：$O(1)$。