深度学习方差 方差视频讲解

Task03 误差和梯度下降
本次学习基于李宏毅老师的《机器学习》课程：https://www.bilibili.com/video/av59538266 笔记参照Datawhale开源学习笔记：https://datawhalechina.github.io/leeml-notes/#/ 本次学习内容较为基础，适合新手了解学习。

1、误差的来源

误差$Error$ 主要有两个来源，分别是 偏差$bias$ 和 方差$variance$ 。误差的期望值 = 噪音的方差 + 模型预测值的方差 + 预测值相对真实值的偏差的平方，如下图：

如何估算方差？用样本估算：

不同模型方差如何？

一次模型的方差就比较小的，也就是是比较集中，离散程度较小。而5次模型的方差就比较大，同理散布比较广，离散程度较大。所以用比较简单的模型，方差是比较小的（就像射击的时候每次的时候，每次射击的设置都集中在一个比较小的区域内）。如果用了复杂的模型，方差就很大，散布比较开。

这也是因为简单的模型受到不同训练集的影响是比较小的。

不同模型偏差如何？

一次模型的偏差比较大，而复杂的5次模型，偏差就比较小。直观的解释：简单的模型函数集的space比较小，所以可能space里面就没有包含靶心，肯定射不中。而复杂的模型函数集的space比较大，可能就包含的靶心，只是没有办法找到确切的靶心在哪，但足够多的数据，就可能得到真正的靶心。

2、过拟合与欠拟合

如果模型没有很好的训练训练集，就是偏差过大，也就是欠拟合。如果模型很好的训练训练集，即再训练集上得到很小的错误，但在测试集上得到大的错误，这意味着模型可能是方差比较大，就是过拟合。 对于欠拟合和过拟合，是用不同的方式来处理的。

• 偏差大-欠拟合
  此时应该重新设计模型。因为之前的函数集里面可能根本没有包含$f^*$。可以：
  将更多的函数加进去，比如考虑高度重量，或者HP值等等。 或者考虑更多次幂、更复杂的模型。 如果此时强行再收集更多的data去训练，这是没有什么帮助的，因为设计的函数集本身就不好，再找更多的训练集也不会更好。
• 方差大-过拟合
  简单粗暴的方法：更多的数据
  但是很多时候不一定能做到收集更多的data。可以针对对问题的理解对数据集做调整。比如识别手写数字的时候，偏转角度的数据集不够，那就将正常的数据集左转15度，右转15度，类似这样的处理。

3、模型选择

现在在偏差和方差之间就需要一个权衡 想选择的模型，可以平衡偏差和方差产生的错误，使得总错误最小 但是下面这件事最好不要做：用训练集训练不同的模型，然后在测试集上比较错误，模型3的错误比较小，就认为模型3好。但实际上这只是你手上的测试集，真正完整的测试集并没有。比如在已有的测试集上错误是0.5，但有条件收集到更多的测试集后通常得到的错误都是大于0.5的。

• 交叉验证
  
  图中public的测试集是已有的，private是没有的，不知道的。交叉验证 就是将训练集再分为两部分，一部分作为训练集，一部分作为验证集。用训练集训练模型，然后再验证集上比较，确实出最好的模型之后（比如模型3），再用全部的训练集训练模型3，然后再用public的测试集进行测试，此时一般得到的错误都是大一些的。不过此时会比较想再回去调一下参数，调整模型，让在public的测试集上更好，但不太推荐这样。

上述方法可能会担心将训练集拆分的时候分的效果比较差怎么办，可以用下面的方法。

• N-折交叉验证
  将训练集分成N份，比如分成3份。
  
  若在三份中训练结果Average错误是模型1最好，再用全部训练集训练模型1。

4、什么是梯度下降法？

在回归问题的第三步中，需要解决下面的最优化问题：
$\theta^∗= \underset{ \theta }{\operatorname{arg\ min}} L(\theta) \tag1$

$L$ :lossfunction（损失函数）
$\theta$ :parameters（参数）
这里的parameters是复数，即 $\theta$ 指代一堆参数，比如上篇说到的 $w$ 和 $b$ 。
我们要找一组参数 $\theta$ ，让损失函数越小越好，这个问题可以用梯度下降法解决：
假设 $\theta$ 有里面有两个参数 $\theta_1, \theta_2$

$\theta^0 = \begin{bmatrix} \theta_1^0 \ \theta_2^0 \end{bmatrix} \tag2$

分别计算初始点处，两个参数对 $L$ 的偏微分，然后 $\theta^0$ 减掉 $\eta$ 乘上偏微分的值，得到一组新的参数。同理反复进行这样的计算。黄色部分为简洁的写法，$\triangledown L(\theta)$ 即为梯度。$\eta$

5、调整学习率

上图左边黑色为损失函数的曲线，假设从左边最高点开始，如果学习率调整的刚刚好，比如红色的线，就能顺利找到最低点。如果学习率调整的太小，比如蓝色的线，就会走的太慢，虽然这种情况给足够多的时间也可以找到最低点，实际情况可能会等不及出结果。如果 学习率调整的有点大，比如绿色的线，就会在上面震荡，走不下去，永远无法到达最低点。还有可能非常大，比如黄色的线，直接就飞出去了，更新参数的时候只会发现损失函数越更新越大。

虽然这样的可视化可以很直观观察，但可视化也只是能在参数是一维或者二维的时候进行，更高维的情况已经无法可视化了。

解决方法就是上图右边的方案，将参数改变对损失函数的影响进行可视化。比如学习率太小（蓝色的线），损失函数下降的非常慢；学习率太大（绿色的线），损失函数下降很快，但马上就卡住不下降了；学习率特别大（黄色的线），损失函数就飞出去了；红色的就是差不多刚好，可以得到一个好的结果。

6、自适应学习率

举一个简单的思想：随着次数的增加，通过一些因子来减少学习率

• 通常刚开始，初始点会距离最低点比较远，所以使用大一点的学习率
• update好几次参数之后呢，比较靠近最低点了，此时减少学习率
• 比如 $\eta^t =\frac{\eta^t}{\sqrt{t+1}}$，$t$ 是次数。随着次数的增加，$\eta^t$ 减小
  学习率不能是一个值通用所有特征，不同的参数需要不同的学习率。

Adagrad 算法

每个参数的学习率都把它除上之前微分的均方根。解释：

普通的梯度下降为：

$w^{t+1} \leftarrow w^t -η^tg^t \tag3$ $\eta^t =\frac{\eta^t}{\sqrt{t+1}} \tag4$

$w$ 是一个参数
Adagrad 可以做的更好： $w^{t+1} \leftarrow w^t -\frac{η^t}{\sigma^t}g^t \tag5$ $g^t =\frac{\partial L(\theta^t)}{\partial w} \tag6$

$\sigma^t$ :之前参数的所有微分的均方根，对于每个参数都是不一样的。

下图是一个参数的更新过程：

Adagrad 算法存在的矛盾，在 Adagrad 中，当梯度越大的时候，步伐应该越大，但下面分母又导致当梯度越大的时候，步伐会越小。

随机梯度下降法

之前的梯度下降：

$L=\sum_n(\hat y^n-(b+\sum w_ix_i^n))^2 \tag8$ $\theta^i =\theta^{i-1}- \eta\triangledown L(\theta^{i-1}) \tag9$

而随机梯度下降法更快：
损失函数不需要处理训练集所有的数据，选取一个例子 $x^n$

$L=(\hat y^n-(b+\sum w_ix_i^n))^2 \tag{10}$ $\theta^i =\theta^{i-1}- \eta\triangledown L^n(\theta^{i-1}) \tag{11}$

此时不需要像之前那样对所有的数据进行处理，只需要计算某一个例子的损失函数Ln，就可以赶紧update 梯度。
对比：常规梯度下降法走一步要处理到所有二十个例子，但随机算法此时已经走了二十步（每处理一个例子就更新）
特征缩放
比如有个函数：

$y=b+w_1x_1+w_2x_2 \tag{12}$ 两个输入的分布的范围很不一样，建议把他们的范围缩放，使得不同输入的范围是一样的。

上图左边是 $x_1$ 的scale比 $x_2$ 要小很多，所以当 $w_1$ 和 $w_2$ 做同样的变化时，$w_1$ 对 $y$ 的变化影响是比较小的，$x_2$ 对 $y$

坐标系中是两个参数的error surface（现在考虑左边蓝色），因为 $w_1$ 对 $y$ 的变化影响比较小，所以 $w_1$ 对损失函数的影响比较小，$w_1$ 对损失函数有比较小的微分，所以 $w_1$ 方向上是比较平滑的。同理 $x_2$ 对 $y$ 的影响比较大，所以 $x_2$ 对损失函数的影响比较大，所以在 $x_2$

上图右边是两个参数scaling比较接近，右边的绿色图就比较接近圆形。

对于左边的情况，上面讲过这种狭长的情形不过不用Adagrad的话是比较难处理的，两个方向上需要不同的学习率，同一组学习率会搞不定它。而右边情形更新参数就会变得比较容易。左边的梯度下降并不是向着最低点方向走的，而是顺着等高线切线法线方向走的。但绿色就可以向着圆心（最低点）走，这样做参数更新也是比较有效率。

7、梯度下降的限制

容易陷入局部极值 还有可能卡在不是极值，但微分值是0的地方 还有可能实际中只是当微分值小于某一个数值就停下来了，但这里只是比较平缓，并不是极值点。