最小公约数java 最小公约数漫画

目录

• 1. 最大公约数(GCD)
• 2. 最小公倍数(LCM)
• 3. 题型训练
• 4. 参考文档

1. 最大公约数(GCD)

正整数a与b的最大公约数是指 a与b的所有公约数中最大的那个公约数。

一般用gcd(a,b)来表示a和b的最大公约数，而求解最大公约数常用 欧几里得算法（即辗转相除法）。

欧几里得算法基于下面的这个定理：

设a、b均为正整数，则gcd(a,b) = gcd(b,a%b)。（这是我们的递归式）

证明：
设a=kb+r，其中k和r分别是a除以b得到的商和余数。
则有 r=a-kb成立。
设d为a和b的一个公约数，
那么由 r=a-kb，得d也是r的一个约数。
因此 d 是 b 和 r 的一个公约数。
因为 r=a%b，得d为b和a%b的一个公约数。
因此d既是a和b的公约数，也是b和a%b的公约数。
由d的任意性，得 a和b的公约数都是b和a%b的公约数。
由 a=kb+r，同理可证 b和a%b的公约数都是a和b的公约数。
因此a和b的公约数与b和a%b的公约数全部相等，故其最大公约数也相等，
即有gcd(a,b) = gcd(b,a%b)。
证毕。

由上面这个定理可以发现，如果a < b，那么定理的结果就是将a和b交换；如果a>b，那么通过这个定理总可以把数据规模变小，并且减小得非常快。这样似乎可以很快得到结果，这是还需要一个东西：递归边界，即数据规模减小到什么程度使得可以算出结果来。很简单，众所周知：0和任意一个整数a的最大公约数都是a（注意：不是0），这个结论就可以当作递归边界。因此容易想到将其写成递归的形式，因为递归的两个关键已经得到：

1. 递归式：gcd(a,b) = gcd(b,a%b)
2. 递归边界：gcd(a,0) = a。

于是可以得到下面求解最大公约数的代码：

int gcd(int a,int b){
	if(b  == 0){
		return a;
	}else{
		return gcd(b,a%b);
	} 
} 
//更简洁的写法是：
int gcd(int a,int b){
	return !b ? a : gcd(b,a%b);
}

2. 最小公倍数(LCM)

正整数a与b的最小公倍数是指a与b的所有公倍数中最小的那个公倍数。一般用lcm(a,b)来表示a和b的最小公倍数。

最小公倍数的求解在最大公约数的基础上进行。当得到a和b的最大公约数d之后，可以马上得到a和b的最小公倍数是ab / d。这个公式通过集合可以很好地理解，如图5-1所示。

由图5-1很容易发现，a和b的最大公约数即集合a与集合b的交集，而最小公倍数为集合a与集合b的并集，由于ab会使公因子部分多计算一次，因此需要除掉一次公因子，于是就得到了a与b的最小公倍数为ab / d。

由于（a$*$b ）在实际计算的时候有可能溢出，因此更恰当的写法是 (a / d) $*$。

3. 题型训练

1. 最大公约数——哈工大

4. 参考文档