Γ(x)=∫∞0tx−1e−tdt
对应于scipy（python库）的：
from scipy.special import gamma通过分布积分的方法，进行如下的推导：
Γ(x+1)=∫∞0txe−tdt=−∫∞0txd(e−t)=−[txe−t|∞0−x∫∞0tx−1e−tdt]=xΓ(x)
可得该函数如下的递归性质：
Γ(x+1)=xΓ(x)
>>> gamma(5+1)
120.0
>>> 5*gamma(5)
120.0于是很容易证明（Γ(1)=1,Γ(n)=(n−1)Γ(n−1)），Γ(x) 函数可以看成是阶乘在实数集上的延拓，具有如下的性质：
Γ(n)=(n−1)!
Γ(n) 与 B(m,n)的关系
B(m,n)=∫10xm−1(1−x)n−1dxB(m,n)=Γ(m)Γ(n)Γ(m+n)
从二项分布到 Gamma 分布
对Gamma 函数的定义稍作变形，可得如下等式：
∫∞0xα−1e−xΓ(α)dx=1
于是
取积分中的函数作为概率密度（Probability Density Function，PDF），就得到一个形式最为简单的Gamma 分布的密度函数（density function）：
Gamma(x|α)=xα−1e−xΓ(α)
如果再做一个变换
x=βt，就得Gamma 分布的更一般形式：
Gamma(t|α,β)=βαtα−1e−βtΓ(α)
其中
α 称为形状参数（shape parameter），主要决定了分布曲线的形状，而
β 称为 rate parameter（或叫 inverse scale parameter，
1β 称为scale parameter），主要决定曲线有多陡。
Gamma 分布与Possion 分布
Gamma 分布首先与Possion 分布（离散型）、Possion 过程发生密切的联系。我们容易发现Gamma分布的概率密度和Possion分布在数学形式具有高度的一致性。参数为 λ 的Possion分布，其概率（probability mass function，pmf）为：
Possion(X=k|λ)=λke−λk!
而Gamma分布的密度（α=k+1,β=1）得到：
Gamma(x|α=k+1)=xαe−xΓ(k+1)=xke−xk!
所以这两个分布在数学形式上是一致的，只是Possion分布是离散的，Gamma分布是连续的，
可以直观地认为Gamma分布是Possion分布在正实数集上的连续化版本。
我们在概率论与数理统计的课程中都学过，Poisson(λ) 分布可以看成是二项分布 B(n,p) 在 np=λ,n→∞：
B(k;n,p)=(nk)pk(1−p)n−k⟶np=λ,n→∞Poisson(X=k|np)=λke−λk!
如果你对二项分布的关注足够多，可能会知道二项分布的随机变量
X B(n,p)满足下面一个奇妙的
恒等式：
P(X≤k)=n!k!(n−k−1)!∫1ptk(1−t)n−k−1dt
我们在等式右侧做一个变换
t=xn可得：
P(X≤k)=====n!k!(n−k−1)!∫nnp(xn)k(1−xn)n−k−1d(xn)∫nnp(n−1)!k!(n−k−1)!(xn)k(1−xn)n−k−1dx∫nnp(n−1k)(xn)k(1−xn)n−k−1dx∫nnpB(k;n−1,xn)dx∫nnpB(Y=k|n−1,xn)dx
上式左侧是二项分布 B(n,p) 的累积分布函数（cumulative density function，cdf），而右侧为无穷多个二项分布 B(n−1,xn) 的积分和，所以可以写为：
B(X≤k|n,p)=∫nnpB(Y=k|n−1,xn)dx
对上式两边在条件
np=λ,n→∞ 下取极限，则得到：
Poisson(X≤k|λ)=∫∞λPoisson(Y=k|x)dx=∫∞λxke−xk!dx
到这，不妨先暂停，我们使用scipy做一个简单验证：
import scipy.stats as st
from scipy.misc import factorial
from scipy import integrate
lmbda, k = 2, 6
X = st.poisson(2)
# X ~ Poisson(2)
print(X.cdf(k))
# P(X<=k)
def poisson_pdf(x, k):
return x**k*np.exp(-x)/factorial(k)
print(integrate.quad(possion_pdf, lmbda, np.inf, args=(k))[0])
# 0.995466194474
# 0.9954661944737513
# 两者达到完美的相等书归正传，我们再来看上面的公式，
Poisson(X≤k|λ)=∫∞λPoisson(Y=k|x)dx=∫∞λxke−xk!dx
该等式即为著名的 Poisson-Gamma duality，接下来我们来点好玩的，对上面的等式两边在 λ→0取极限，左侧Poisson分布表示的是至少发生 k事件的概率，λ→0的时候就不可能有事件再发生了，故 P(X≤k)=0，于是：
1=limλ→0∫∞λxke−xk!dx=∫∞0xke−xk!dx
该积分式子说明 f(x)=xke−xk!在实数集上是一个概率分布函数（probability density function，pdf），而这个函数恰好就是
Gamma分布（
Gamma(x|α)=xα−1e−xΓ(α),α=k+1）（
也即我们通过二项分布，再根据泊松定理，推导出了最后的Gamma分布）。我们继续把上式右边中的
k!移到左边，于是得到：
k!=∫∞0xke−xdx
于是我们得到了将
k!表示为积分（也即从此我们可以计算3.5的阶乘了）的方法。
好吧，文章已经够长的了，公式已经够繁复的了，下文，我们将重点实现阶乘在正实数轴上的连续化（或者叫插值），其实已经很明显了。
