树与二叉树
树型结构在数据结构中是非常重要的一种非线性数据结构,很多知名的算法以及项目和常见软件都采用了这种结构来完善自己和提升性能,也是计算机领域最为典型和常见的数据结构。
以树和二叉树为最常见的两种结构。
概念
树:由 n 个有限节点组成的一个有层次关系的集合。具有以下特点:每个系欸但有零个或者多个子节点;没有父节点的节点称为根节点,每个非根节点有且只有一个父节点,除了根节点,其他节点可以分为多个不相交的子树。
二叉树:二叉树,即每个节点最多只有两个子树,即 ‘左子树’ 和 ‘右子树’,常被用于查询算法。
一般树结构可以如下理解:
这里一般情况下根节点都是位于最上方,并逐层向下。在我看来如果方向向上,向左,向右也是可以的,只要满足定义即可。
二叉树的一般结构如下图:
同样的,我们默认根节点在最上方,便于观察,同样只要满足二叉树的定义即可,方向可以不受约束。
二叉树特点性质细分
- 二叉树的每个节点最多有两个子树,二叉树子树有左右之分,次序不能颠倒。
- 二叉树的第 n 层 最多有 2^(n-1)个节点 即 2 的 n-1 次方 个节点(例如第三层 则 最多有 )2 的 (3-1)次方 即 4 个节点,根节点只有一个 即 2 的 (1-1)0次方 1个节点。深度为 k 的二叉树最多有 2 的 k-1 次方个节点。
- 一棵深度为 k ,且有 2^k-1 个节点的二叉树称之为满二叉树。
- 深度为 k,且有n个节点的二叉树,当且仅当其每一个节点都与深度为 k 的满二叉树中,需要为 1 至 n 的节点对应时,为完全二叉树。
二叉树的三种遍历方式
先序遍历:
若二叉树不为空,则先访问根节点,再先序遍历左子树,再先序遍历右子树,即若存在节点 先访问中间的根节点,再访问左,再访问右,左右为子树时依旧按照 ‘中左右的顺序访问’,如果左右均访问完成则返回上一个节点,若均访问了则再返回上一个节点。直到全部遍历完成。
中序遍历:
与先序遍历类似,但是顺序为先遍历左子树,再访问根节点 再访问右子树,直至全部遍历结束。
后序遍历:
与先序遍历类似,但是顺序为先遍历左子树,再遍历右子树,最后访问根节点。
找个例子如下:
二叉查找树
定义
二叉查找树即二叉排序树,又名二叉搜索树,具有以下性质:
- 若左子树不为空,则左子树上所有节点的值都小于它根节点的值;
- 若右子树不为空,则右子树上所有节点的值都大于它根节点的值;
- 左右子树也分别为二叉排序树;
- 没有键值相等的节点;
典型二叉查找树的构建过程,找了个例子如下:
性能
对不给定的不同内容,其形成的二叉树形态不同,查询效率也不同。
含有 n 个节点的二叉查找树的平均查找长度和树的形态有关。最坏的情况,就是插入的内容为有序时,构成的树就只有一个分支,深度为 n ,平均查找长度为 (n+1)/2 。最好的情况为二叉树形态和折半查找的判定树相同,平均查找长度与 log2(n) 成正比。
平均情况下,二叉查找树的平均查找长度和 log n 是同等数量级的,为了更好的性能,通常在构建树的过程中需要进行平衡化处理。在平衡树和红黑树可以使查找树的高度为 O(log(n))。
代码构建二叉树:
/**
* 二叉树节点构建
*/
public class BinTreeNode<E> {
E element;
BinTreeNode<E> leftTreeNode;
BinTreeNode<E> rightTreeNode;
public BinTreeNode(E element) {
this.element = element;
}
}
先序,中序以及后序遍历的递归实现(以下只作为参考):
/**
* 先序遍历的递归实现
* @param binTreeNode
*/
public static void frontBtree (BinTreeNode binTreeNode){
if (binTreeNode == null){
return ;
}
System.out.println(binTreeNode.element + " ");
frontBtree(binTreeNode.leftTreeNode);
frontBtree(binTreeNode.rightTreeNode);
}
/**
* 中序遍历递归实现
* @param binTreeNode
*/
public static void middleBtree (BinTreeNode binTreeNode){
if (binTreeNode == null){
return ;
}
middleBtree(binTreeNode.leftTreeNode);
System.out.println(binTreeNode.element + " ");
middleBtree(binTreeNode.rightTreeNode);
}
/**
* 后序遍历递归实现
* @param binTreeNode
*/
public static void behindBtree (BinTreeNode binTreeNode){
if (binTreeNode == null){
return ;
}
behindBtree(binTreeNode.leftTreeNode);
behindBtree(binTreeNode.rightTreeNode);
System.out.println(binTreeNode.element + " ");
}
二叉查找树的简单实现如下代码所示:
/**
* 二叉查找树的简单实现
* @param <E>
*/
public class BinSearchTree<E extends Comparable<E>> {
// 根节点
private TreeNode<E> rootNode;
// 默认构造
public BinSearchTree() {
}
/**
* 二叉查找树搜索
* @param element
* @return
*/
public boolean searchValue(E element){
TreeNode<E> currentNode = rootNode;
while (currentNode != null){
if (element.compareTo(currentNode.element) < 0){
currentNode = currentNode.leftNode;
}else if (element.compareTo(currentNode.element) > 0){
currentNode = currentNode.rightNode;
} else{
return true;
}
}
return false;
}
public boolean insertNode(E element){
// 为空 直接作为根节点
if (rootNode == null){
rootNode = creatNewTreeNode(element);
} else {
TreeNode<E> parentNode = null;
TreeNode<E> currentNode = rootNode;
// 遍历 寻找合适的父节点
while (currentNode != null){
if (element.compareTo(currentNode.element) < 0){
parentNode = currentNode;
currentNode = currentNode.leftNode;
} else if(element.compareTo(currentNode.element) > 0){
parentNode = currentNode;
currentNode = currentNode.rightNode;
} else{
return false;
}
}
// 增加节点
if (element.compareTo(parentNode.element) < 0){
parentNode.leftNode = creatNewTreeNode(element);
} else {
parentNode.rightNode = creatNewTreeNode(element);
}
}
return true;
}
/**
* 创建新的节点
* @param e
* @return
*/
protected TreeNode<E> creatNewTreeNode(E e){
return new TreeNode<>(e);
}
}
/**
* 二叉树节点
* @param <E>
*/
class TreeNode<E extends Comparable<E>>{
E element;
TreeNode<E> leftNode;
TreeNode<E> rightNode;
public TreeNode(E element) {
this.element = element;
}
}
二叉查找树删除节点:
删除时需要先找到该节点以及该节点的父节点,根据删除的不同,可能需要修改部分节点之间的关系。
当前节点如果没有左子树,假设rightMost指向包含current节点的左子树中最大元素的节点,而parentOfRightMost指向rightMost节点的父节点。那么先使用rightMost节点中的元素值替换current节点中的元素值,将parentOfRightMost节点和rightMost节点的左孩子相连,然后删除rightMost节点。
示例参考代码如下:
/**
* 删除某一节点
* @param element
* @return
*/
public boolean deleteTreeNode(E element){
TreeNode<E> parentNode = null;
TreeNode<E> currentNode = rootNode;
// 找到该节点
while (currentNode != null){
if (element.compareTo(currentNode.element) < 0){
parentNode = currentNode;
currentNode = currentNode.leftNode;
} else if (element.compareTo(currentNode.element) > 0){
parentNode = currentNode;
currentNode = currentNode.rightNode;
} else {
break;
}
}
// 依旧未找到
if (currentNode == null){
return false;
}
// 该节点没有左子树
if (currentNode.leftNode == null){
if (parentNode == null){
rootNode = currentNode.rightNode;
} else {
if (element.compareTo(parentNode.element) < 0){
parentNode.leftNode = currentNode.rightNode;
} else {
parentNode.rightNode = currentNode.rightNode;
}
}
// 有左子树
} else {
TreeNode<E> parentOfRightMost = currentNode;
TreeNode<E> rightMost = currentNode.leftNode;
// 找到左子树中最大的节点
while (rightMost.rightNode != null){
parentOfRightMost = rightMost;
rightMost = rightMost.rightNode;
}
// 替换节点
currentNode.element = rightMost.element;
if (parentOfRightMost.rightNode == rightMost){
parentOfRightMost.rightNode = rightMost.leftNode;
} else {
parentOfRightMost.leftNode = rightMost.leftNode;
}
}
return true;
}
平衡二叉树
也称AVL树,或为空树,或者拥有以下性质的二叉树:
左子树和右子树都是平衡二叉树,且左右子树深度差的绝对值不超过 1;
AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树算法。在AVL中任何节点的两个儿子子树的高度最大差别为1,所以它也被称为高度平衡树,n个结点的AVL树最大深度约1.44log2n。查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(log n)。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来重新平衡这个树。
红黑树简介
红黑树是平衡二叉树的一种,它保证在最坏情况下基本动态集合操作的事件复杂度为O(log n)。
红黑树和平衡二叉树区别如下:
(1) 红黑树放弃了追求完全平衡,追求大致平衡,在与平衡二叉树的时间复杂度相差不大的情况下,保证每次插入最多只需要三次旋转就能达到平衡,实现起来也更为简单。
(2) 平衡二叉树追求绝对平衡,条件比较苛刻,实现起来比较麻烦,每次插入新节点之后需要旋转的次数不能预知。