本文给出基于两种统计量的假设检验，来检验变量间是否独立--χ2与秩和。χ2越小说明越独立。你可能会参考另一篇博客相关性检验。
假设检验
假设检验（Test of Hypothesis）又称为显著性检验（Test of Ststistical Significance）。
在抽样研究中，由于样本所来自的总体其参数是未知的，只能根据样本统计量对其所来自总体的参数进行估计，如果要比较两个或几个总体的参数是否相同，也只能分别从这些总体中抽取样本，根据这些样本的统计量作出统计推断，籍此比较总体参数是否相同。由于存在抽样误差，总体参数与样本统计量并不恰好相同，因此判断两个或多个总体参数是否相同是一件很困难的事情。
基本的解决方法是：根据问题的需要对所研究的总体作某种假设，记作H0；选取合适的统计量，这个统计量的选取要使得在假设H0成立时，其分布为已知；由实测的样本，计算出统计量的值，并根据预先给定的显著性水平进行检验，作出拒绝或接受假设H0的判断。常用的假设检验方法有u—检验法、t—检验法、χ2检验法、F—检验法，秩和检验等。
χ2独立性检
χ2检验是一种无参数的假设检验。
考虑这以一个问题：某地区有10000合法选民，现统计了男性和女性分别有多少人参加了投票。
Men Women
_____________________________
Voted 2792 3591
Didn't vote 1486 2131问“性别”和“投票”是不是相互独立的？
下面就使用假设检验的方法解决这个问题。
我们假设H0：性别和投票相互独立。备选假设H1：性别与投票相关。
计算上表的行和与列和。
OBSERVED TABLE
Men Women Total
_____________________________ |______
Voted 2792 3591 | 6383
Didn't vote 1486 2131 | 3617
_____________________________________
Total 4278 5722 | 10000原始表中的数据用Aij表示，行和用Ai·表示，列和用A·j表示，全部元素的和用A··表示。
投票的概率：
选民为男性的概率：
在H0下，我们认为投票与性别无关，所以男性参加投票的概率为：
这样可以算出男性投票的期望值：0.2731×10000=2731。于是就得到了下面这张“期望表”
EXPECTED TABLE
Men Women Total
_____________________________ |______
Voted 2731 3652 | 6383
Didn't vote 1547 2070 | 3617
_____________________________________
Total 4278 5722 | 10000观察值与期望值的差值为误差。对于每一个观察值我们计算误差的平方与期望值的比值。
c11 = (2792-2731)^2/2731
c12 = (3591-3652)^2/3652
c21 = (1486-1547)^2/1547
c22 = (2131-2070)^2/2070
χ2=c11+c12+c21+c22=6.584283457
定义自由度为(rows-1)*(cols-1)，在我们的例子中自由度为1。
查表：
Degrees of
freedom 99% ... 10% 5% 1%
_____________________________________________________
1 0.00016 2.71 3.84 6.64
2 0.020 4.60 5.99 9.21由于χ2介于3.84和6.64之间，所以P值介于5%和1%之间，也就是说我们接收假设H0的把握还不到5%，因此拒绝它。
最后给出CHI-Square独立检测的公式：
自由度
，r表示行数，c表示列数期望值
，nr是行和，nc是列和，n是所有元素的和统计量
，Or,c是观察值
由（3）式可以推出，对于一个2×2的contigency table，χ2统计量可以由（4）式来计算。
Variable 2 |
Data type 1 |
Data type 2 |
Totals |
Category 1 |
a |
b |
a + b |
Category 2 |
c |
d |
c + d |
Total |
a + c |
b + d |
a + b + c + d = N |
基于χ2的特征项选择
既然χ2统计量可以独立性检验，从独立性检验的对立面来考虑，χ2统计量也可以用来作相关性的度量。χ2越小说明变量之间越独立，χ2越大说明变量之间越相关。
| 文档类别Cj | Cj的补集 |
词条w | a | b |
w的补集 | c | d |
a表示词条w在类别Cj中出现的频数；b表示词条w在Cj以外的其他类别中出现的频数；c表示除w以外的其他词条在Cj中出现的频数；d表示除w以外的其他词条在除Cj外的类别中出现的频数。
利用公式（4）计算每个词条对于每种分类的χ2统计量，记为χ2(w,Cj)。
说明词条与分类正相关；
说明词条与分类负相关。
则词条对整个语料库的记χ2值为
根据（5）式计算每个词条的平均χ2值，选最大的K个作为特征项。
秩和检验
秩和检验也是一种无参数的假设检验。它从两个未知分布的总体中独立、随机地抽取容量分别为n1、n2的样本，设n1<n2。然后把两个样本混合在一起进行排序，得到每个样本单位的秩次。当几个数据的大小相同秩次却不相同时，最终的秩次取其算术平均。
数据： | 5 | 6 | 6 | 7 | 7 | 8 | 8 | 9 | 10 | 10 | 11 |
秩号： | 1 | 2.5 | 2.5 | 4.5 | 4.5 | 6.5 | 6.5 | 8 | 9.5 | 9.5 | 11 |
红颜色的数据来自一个总体，黑颜色的来自另一个总体。n1=5,n2=6。
原假设：两个总体服从相同的分布。
备选假设：两个总体服从不同的分布。
总体Ⅰ的秩和 T=2.5+4.5+6.5+6.5+9.5=29.5
取显著水平α=0.05，进行双侧检验，查“秩和检验表”，n1=5，n2=6，得临界值T1(α)=20，T2(α )=40。
20<29.5<40，样本落入接受域，所以接受原假设。
作者:Orisun
