Rademacher分布

在液体喷雾过程中，常利用Rosin-Rammler方法来描述液滴粒径分布。

本文内容来自Fluent UserGuide 25.3.14。

Rosin-Rammler方法利用以下方式描述粒径与质量分数之间的函数关系：

齐总\bar{d}为平均粒径（Mean Diameter），n为尺寸分布指数（Spread Parameter）。

通过将粒径分布数据拟合到Rosin-Rammler方程中，可以很容易地定义粒度分布。在这种方法中，完整的粒径范围被划分为一组离散的粒度范围。例如，假设粒径数据服从以下分布：

粒径范围（微米）	质量分数
0~70	0.05
70~100	0.1
100~120	0.35
120~150	0.3
150~180	0.15
180~200	0.05

首先需要处理表中的数据，以累积质量分数的形式显示：

粒径（微米）	超过粒径的质量分数
70	0.95
100	0.85
120	0.50
150	0.20
180	0.05
200	0

将表显示成散点图，如下图所示。

利用Rosin-rammler函数拟合上面的数据。这种非线性估计极为麻烦，曲线拟合常常失败。可以采用python对上表中的数据进行拟合。

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
x = np.array([70,100,120,150,180,200])
y = np.array([0.95,0.85,0.5,0.2,0.05,0])

# 防止对0取对数，故去掉最后一个元素
xx = np.array([70,100,120,150,180])
yp = np.array([0.95,0.85,0.5,0.2,0.05])

yy= np.log(yp)

'''
指定的公式，两边取对数然后拟合
'''
def func(x,a,b):
    return -np.power(x/a,b)
popt, pcov = curve_fit(func, xx, yy)#函数拟合

# 绘制图形
xx = np.linspace(70,200,num=50)
yvals=np.exp(func(xx,popt[0],popt[1]))
plot1=plt.plot(x, y, 'o',c='r',label='original values')
plot2=plt.plot(xx, yvals, 'b',linewidth=2,label='$fit: Y_d = e^{-(\\frac{d}{%5.5f})^{%5.5f}}$' % tuple(popt))
plt.xlabel('diameter(μm)')
plt.ylabel('mass fraction')
plt.legend(loc=1)
plt.show()

拟合结果如图所示：

可看到拟合的系数a=134.247，b=3.7794。这里为了防止对0取对数而丢失了一个点的信息。

Fluent中采用另外一种估算方案。

先估算平均粒径。当粒径为平均粒径时，此时质量分数：

此时线性插值得到平均粒径：

可得到平均粒径d=133.2μm。

有了平均粒径，即可代入公式：

将表中的粒径d代入公式中，求解得到多个n，再计算其平均值即可得到分布指数。

粒径	质量分数	n
70	0.95	4.682585
100	0.85	6.5445
120	0.5	3.845475
150	0.2	3.722698
180	0.05	3.53755
200	0
	平均值	4.466562

可得到平均分布指数n=4.466562.

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| | 平均值 | 4.466562 |

可得到平均分布指数n=4.466562.

看图形拟合得还不错。当然如果想要硬生生的拟合，也并不是不可以，不过搞起来麻烦一点罢了，不管从哪个角度来讲，非线性拟合的复杂程度总是要大于代数计算。