文章目录
- 穷举法
- 优化穷举
- 分治法
- 动态规划
给定一个序列(至少含有 1 个数),从该序列中寻找一个连续的子序列,使得子序列的和最大。
例如,给定序列 [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
连续子序列 [4,-1,2,1] 的和最大,为 6。
穷举法
最简单的方法就是直接求解出所有的子序列之和,然后比较子序列之和,求出最大值。那么如何求解子序列呢?首先子序列的起始位置可能是任意的,结束位置也可以是任意的。可以一层循环确定子序列的起始位置,嵌套一层循环确定子序列的结束位置并求和,
def getMaxSubString(arr):
sum_list = []
for i in range(len(arr)):
cur_sum = 0
for j in range(i, len(arr)):
cur_sum += arr[j]
sum_list.append(cur_sum)
max_element = max(sum_list)
return max_element
if __name__ == '__main__':
res = getMaxSubString([-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4])
print(res)
优化穷举
不使用一个额外的空间存在每次计算的子序列和,而是每次计算完成之后,直接比较大小
def getMaxSubSeqSum(arr):
# sum_list = []
max_element = arr[0]
for i in range(len(arr)):
cur_sum = 0
for j in range(i, len(arr)):
cur_sum += arr[j]
# sum_list.append(cur_sum)
if cur_sum > max_element:
max_element = cur_sum
# max_element = max(sum_list)
return max_element
if __name__ == '__main__':
res = getMaxSubSeqSum([-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4])
print(res)
分治法
分治法是一种使用广泛的算法,其基本思想是:“如果整个问题比较复杂,可以将问题分化,各个击破”。分治包含“分”和“治”两个过程,先将问题分成两个大致相等的子问题,然后递归地对它们求解。
在此例中,先将序列等分成左右两份,最大子序列只可能出现在三个地方:
- 整个子序列出现在左半部分;
- 整个子序列出现在右半部分;
- 跨越左右边界出现在中间。
最大子序列和要么在左半部分,要么在右半部分,要么横跨左右两部分。所以分别求出这三种情况的最大序列和,比较求得最终的最大子序列和。左半部分和右半部分可以用递归求,那么只需要在函数中求解横跨两部分的最大子序列即可。从中间值开始,向前面两种方法那样,起始位置为中间下标,一部分向左求和,另一部分向右求和,最终两部分相加即可。因为在Python中组合数据类型可以不用声明全局,直接是地址传值,所以直接用了。
def divide_and_conquer(lst, left, right):
if left == right:
if lst[left] > 0:
return lst[left]
else:
return 0
center = (left + right) // 2
# 左边界最大子序列和右边界最大子序列
max_left_sum = divide_and_conquer(lst, left, center)
max_right_sum = divide_and_conquer(lst, center + 1, right)
max_left_border_sum = left_border_sum = 0
for i in range(center, left - 1, -1):
left_border_sum += lst[i]
if left_border_sum > max_left_border_sum:
max_left_border_sum = left_border_sum
max_right_border_sum = right_border_sum = 0
for i in range(center + 1, right + 1):
right_border_sum += lst[i]
if right_border_sum > max_right_border_sum:
max_right_border_sum = right_border_sum
# 左、右与跨越边界的子序列
return max(max_left_sum, max_right_sum, max_left_border_sum + max_right_border_sum)
if __name__ == '__main__':
lst = [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]
print(divide_and_conquer(lst, 0, len(lst)-1))
动态规划
当前的最大子序列和一定是由之前的最大子序列和加上(或不考虑)当前元素构成的。那么我们从第一个元素开始,假设第一个元素为目前的最大子序列和,下一个最大子序列一定是这个子序列加上第二个元素或者丢掉第一个元素。那么何时加上第二个元素呢?只要第一个元素不为负数(因为负数只会越加越小,根本不会构成最大子序列和),那么就是第一个子序列和加上这个元素。如果是负数,那么目前最大的子序列的起始位置只能是这个元素。这样每次循环都得到目前最优的子序列,知道循环结束。
回归到第一种方法,每次循环都是起始位置的确定的,结束位置也是在循环不断变化中。此方法是在每次循环中起始位置(可能)和结束位置都在变化。
def getMaxSubSeqSum(arr):
max_sum = arr[0]
cur_sum = arr[0]
for i in range(1, len(arr)):
if cur_sum < 0:
cur_sum = arr[i]
else:
cur_sum += arr[i]
if cur_sum > max_sum:
max_sum = cur_sum
return max_sum
if __name__ == '__main__':
arr = [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]
res = getMaxSubSeqSum(arr)
print(res)
动态规划的解法时间复杂度为O(n),而且代码比较简洁,推荐使用的解法