前言：逻辑回归可以看作是一个最简单的神经网络，理解逻辑回归对于理解神经网络的原理非常有帮助。
首先简要说明一下什么是回归。即我们有一些数据点，我们用一条线去对这些点进行拟合，这个拟合的过程就是回归。（即我们在坐标系中去找一条线，使得这条线尽最大可能地串联这些已知的数据点，如果无法串联则尽量靠近这些已知点。此外，还有一些未知点，但这些未知点和已知点符合某种不为人知的相同规律，我们的线不仅仅要尽量串联已知点，还要保证这条线，将来在预测未知点方面也有良好的效果。）
逻辑回归（Logistic Regression）就是在用回归的思想去处理分类的问题。逻辑回归在功能上是做二分类的问题（实际上二分类问题可以扩展到多分类的问题），并给出相应概率。具体而言，我们假设有一堆数据分布在坐标系中，我们现在要把这堆数据分为两类。我们认为相同类别的数据必然有着某种类似的特征，因此在坐标系中，同类的数据点一定都“蜷缩”在一起。因此，我们要将这两类数据“一切两断”，采用一条直线将其分割开来（如果是二维坐标就用直线切割，三维坐标则用面切割，以此类推）。
如同上图，蓝色和红色点分别代表两类数据，我们现在用一条直线将其分割开来。实际上，数据分布的情况不一定可以完全用直线切割开来，你可以使用更复杂的线去拟合，但是这里逻辑回归使用较为简单的模型。因此，我们的目的不是做到完全一个点都不判错，而是尽量使得误差最小。
逻辑回归（许多机器学习算法都是）过程大致分为两个阶段，训练阶段和预测阶段。训练阶段我们需要使用大量的带有标签的数据（也就是知道这些输入将输出的正确结果）输入到模型当中，然后模型会根据这些输入数据调整自己的参数W，当模型训练到一个较佳状态时即可以进行预测了。预测阶段即将训练好的模型拿来，输入没有标签的数据，进行预测输出结果。
现在，我们假设我们的每个数据有n个特征点，记作X={x0,x1,x2,…,xn}。逻辑回归就是去建立一个参数向量W={w0,w1,w2,...,wn}。使得
z=w0x0+w1x1+w2x2+…+wnxn
这样z就是计算的结果了。
但既然是二分类，我们首先想到我们需要我们的模型最后只输出两个值——0和1。而z的值是可能超过0~1之间的，因此我们需要把z的值映射到0~1之间。具有这种性质的函数我们首先想到海维赛德阶跃函数（Heaviside step function），或者直接称为单位阶跃函数。简单来说，就是如下公式：
然而，海维赛德阶跃函数的问题在于：该函数在跳跃点上从0瞬间跳跃到1，这个地方是不可导的，而我们之后梯度下降的过程中需要用到导数，因此我们舍弃该函数而使用sigmoid函数。
sigmoid函数在神经网络中叫做激活函数，其公式为
由图可以看出，只要横坐标的刻度足够大，其形状就非常像阶跃函数。这里我们就把输出值大于0.5的当作第一类，小于0.5的当作第二类。我们将输出概率记作h(x)，h(x)=0.5即决策边界。
若Z=XW（这里W写在X的前面还是后面取决于两者的shape），则此时有公式
因此我们现在就要找到最佳的W，而我们的目标就是使得cost（损失函数，也就是计算预测值和真实值的误差大小）最小。cost公式为
其中，log的底数一般为e（也存在其它情况，但本文未说明则一律默认为e），y*为标签结果。
接下来就是梯度下降求解最佳的W的值了：
我们将情况具象化，假设我们的X有十组数据，每组数据有三个特征点。
（注意这里e^(-XW），这里是X和W相乘之后对e进行对位处理）
此时cost公式为
（以上Y*为标签，黑色圆点符号为点乘，log(H)同样都是对位处理）
接下来要求解dcost/dW
首先我们求
注意这个地方我们不能直接用链式法则：dcost/dW=(dcost/dH)*(dH/dZ)*(dZ/dW)
由于这里有表达式里面有矩阵，因此这种计算方法实际上错误的，具体可以参考：
因此下面的计算也就变成了
由此可以看出最后dcost/dW的值是由X、W、Y*决定的。
最后是梯度下降的公式：
W的初始值一般是随机生成的，alpha为学习率，而dcost/dW中的X、W、Y*在训练过程中都是已知的。
由这个公式就可以看出W是如何找到最佳值的。如下图
事实上，W是一个向量，而非单个的值，所以这W-cost图实际上是不标准的，但是这里为了画图方便和理解方便，我们就使用一个二维坐标系表示W去寻找最佳值的一个过程，至于W为向量的情况，都是可以根据本图进行类推的。
假设现在有一个W-cost的图，我们要做的就是找到使得cost最小的时候的W的值为多少，如同在一座山上，去找海拔最低的山谷。而事实上，我们是无法见到整座山的全貌的，但是我们知道我们所站立的地方的“坡度”，也就是dcost/dW，在图中表现为某个点的斜率。也就是说我要往我所站立的地方的下坡路走，因为下坡的地方一定比我现在的海拔低，那么我走动的距离也就是alpha*dcost/dW，这里alpha也就是学习率，其控制着你每次所走的距离，学习率越大，你每次也就走得越远（学习率是训练开始之前就设置好的，虽然也存在动态的学习率，但这里我们不讨论这个问题，都使用固定的学习率）。而alpha是大于0的，W-=alpha*dcost/dW这样就意味着如果dcost/dW大于0则我W就变小，反之则变大。对应图中假如我在d点，此时我切线斜率大于0我就会往回走到e点，而如果我在f点，此时切线斜率小于0我就往前走到e点。我们会通过这种方式走到谷底斜率为0的地方（事实上，我们不太可能找到完美的谷底，一般是在非常接近于谷底的地方左右震荡）。此外，学习率对于我们找到谷底也是非常有影响的。假如我在a点，如果学习率过大，我可能走的步长就越大，我也许就直接从a点跃到g点了，错过了中间的e点，又从g点跃回到a点附近，每次都会错过e点。而如果学习率过小，也就是说我步长很小，也许你就不会错过中间的谷地，但你又可能陷入局部最优而错过了全局最优，比如我从a点出发，当我经过b点的时候我发现我左右都比我高，就会误以为我已经到达了谷底，却不知道谷底之外还有更深的谷底。因此，对于训练来说，学习率而初始位置都会对最后的结果有影响。
