文章目录
- 1、数据集处理
- 2、不同特征维度上的均值向量
- 3、类内散步矩阵与类间散步矩阵
- 4、特征值与特征向量
- 5、可视化展示
主要流程:
理论部分的参考文章:
1、LDA和PCA降维总结2、详解协方差与协方差矩阵
3、期望值、均值向量和协方差矩阵
4、如何计算数学期望
以下是用一个经典的“鸢尾花”数据集上使用线性判别分析完成降维任务。
数据集中含有3类共150条鸢尾花基本数据,其中3个种类山鸢尾,变色鸢尾,维吉尼亚鸢尾各50条数据,包括了萼片长度,萼片宽度,花瓣长度,花瓣宽度4个特征。
1、数据集处理
# 自己来定义列名,首先读取数据集
feature_dict = {i:label for i,label in zip(
range(4),
('sepal length in cm',
'sepal width in cm',
'petal length in cm',
'petal width in cm', ))}
label_dict = {i:label for i,label in zip(
range(1,4),
('Setosa',
'Versicolor',
'Virginica'
))}
import pandas as pd
# 数据读取,大家也可以先下载下来直接读取
df = pd.io.parsers.read_csv(
filepath_or_buffer='https://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/iris/iris.data',
header=None,
sep=',',
)
# 指定列名
df.columns = [l for i,l in sorted(feature_dict.items())] + ['class label']
df.head()
sepal length in cm | sepal width in cm | petal length in cm | petal width in cm | class label | |
0 | 5.1 | 3.5 | 1.4 | 0.2 | Iris-setosa |
1 | 4.9 | 3.0 | 1.4 | 0.2 | Iris-setosa |
2 | 4.7 | 3.2 | 1.3 | 0.2 | Iris-setosa |
3 | 4.6 | 3.1 | 1.5 | 0.2 | Iris-setosa |
4 | 5.0 | 3.6 | 1.4 | 0.2 | Iris-setosa |
由于特征与已经是数值数据,不需要做额外的处理,但是需要转换一个标签:
from sklearn.preprocessing import LabelEncoder
X = df[['sepal length in cm','sepal width in cm','petal length in cm','petal width in cm']].values
y = df['class label'].values
# 制作标签{1: 'Setosa', 2: 'Versicolor', 3:'Virginica'}
enc = LabelEncoder()
label_encoder = enc.fit(y)
y = label_encoder.transform(y) + 1
2、不同特征维度上的均值向量
在计算过程中需要基于均值来判断距离,因此先要对数据中各个特征求均值,就是对每种花分别求其各个特征的均值
import numpy as np
#设置小数点的位数
np.set_printoptions(precision=4)
#这里会保存所有的均值
mean_vectors = []
# 要计算3个类别
for cl in range(1,4):
# 求当前类别各个特征均值
mean_vectors.append(np.mean(X[y==cl], axis=0))
print('均值类别 %s: %s\n' %(cl, mean_vectors[cl-1]))
均值类别 1: [5.006 3.418 1.464 0.244]
均值类别 2: [5.936 2.77 4.26 1.326]
均值类别 3: [6.588 2.974 5.552 2.026]
3、类内散步矩阵与类间散步矩阵
接下来计算类内散步矩阵:
# 原始数据中有4个特征
S_W = np.zeros((4,4))
# 要考虑不同类别,自己算自己的
for cl,mv in zip(range(1,4), mean_vectors):
class_sc_mat = np.zeros((4,4))
# 选中属于当前类别的数据
for row in X[y == cl]:
# 这里相当于对各个特征分别进行计算,用矩阵的形式
row, mv = row.reshape(4,1), mv.reshape(4,1)
# 跟公式一样
class_sc_mat += (row-mv).dot((row-mv).T)
S_W += class_sc_mat
print('类内散布矩阵:\n', S_W)
类内散布矩阵:
[[38.9562 13.683 24.614 5.6556]
[13.683 17.035 8.12 4.9132]
[24.614 8.12 27.22 6.2536]
[ 5.6556 4.9132 6.2536 6.1756]]
接下来计算类间散步矩阵:
# 全局均值
overall_mean = np.mean(X, axis=0)
# 构建类间散布矩阵
S_B = np.zeros((4,4))
# 对各个类别进行计算
for i,mean_vec in enumerate(mean_vectors):
#当前类别的样本数
n = X[y==i+1,:].shape[0]
mean_vec = mean_vec.reshape(4,1)
overall_mean = overall_mean.reshape(4,1)
# 如上述公式进行计算
S_B += n * (mean_vec - overall_mean).dot((mean_vec - overall_mean).T)
print('类间散布矩阵:\n', S_B)
类间散布矩阵:
[[ 63.2121 -19.534 165.1647 71.3631]
[-19.534 10.9776 -56.0552 -22.4924]
[165.1647 -56.0552 436.6437 186.9081]
[ 71.3631 -22.4924 186.9081 80.6041]]
4、特征值与特征向量
得到类内核类间散布矩阵之后,还需要将他们组合在一起,然后求解矩阵的特征向量:
#求解矩阵特征值,特征向量
eig_vals, eig_vecs = np.linalg.eig(np.linalg.inv(S_W).dot(S_B))
# 拿到每一个特征值和其所对应的特征向量
for i in range(len(eig_vals)):
eigvec_sc = eig_vecs[:,i].reshape(4,1)
print('\n特征向量 {}: \n{}'.format(i+1, eigvec_sc.real))
print('特征值 {:}: {:.2e}'.format(i+1, eig_vals[i].real))
特征向量 1:
[[-0.2049]
[-0.3871]
[ 0.5465]
[ 0.7138]]
特征值 1: 3.23e+01
特征向量 2:
[[-0.009 ]
[-0.589 ]
[ 0.2543]
[-0.767 ]]
特征值 2: 2.78e-01
特征向量 3:
[[-0.8844]
[ 0.2854]
[ 0.258 ]
[ 0.2643]]
特征值 3: 3.42e-15
特征向量 4:
[[-0.2234]
[-0.2523]
[-0.326 ]
[ 0.8833]]
特征值 4: 1.15e-14
输出结果得到4个特征值和其所对应的特征向量,特征向量直接观察起来比较麻烦,因为投影方向在高维上很难理解。
- 特征向量:表示映射方向
- 特征值:特征向量的重要程度
#特征值和特征向量配对
eig_pairs = [(np.abs(eig_vals[i]), eig_vecs[:,i]) for i in range(len(eig_vals))]
# 按特征值大小进行排序
eig_pairs = sorted(eig_pairs, key=lambda k: k[0], reverse=True)
print('特征值排序结果:\n')
for i in eig_pairs:
print(i[0])
特征值排序结果:
32.27195779972981
0.27756686384003953
1.1483362279322388e-14
3.422458920849769e-15
print('特征值占总体百分比:\n')
eigv_sum = sum(eig_vals)
for i,j in enumerate(eig_pairs):
print('特征值 {0:}: {1:.2%}'.format(i+1, (j[0]/eigv_sum).real))
特征值占总体百分比:
特征值 1: 99.15%
特征值 2: 0.85%
特征值 3: 0.00%
特征值 4: 0.00%
选择前两维特征,这表示可以把特征数据降到二维甚至一维,但没必要降到三维。
所以选择把数据降到二维,只需选择特征值1、特征值2所对应的特征向量即可。下面将前两个特征向量拼接在一起。
W = np.hstack((eig_pairs[0][1].reshape(4,1), eig_pairs[1][1].reshape(4,1)))
print('矩阵W:\n', W.real)
矩阵W:
[[-0.2049 -0.009 ]
[-0.3871 -0.589 ]
[ 0.5465 0.2543]
[ 0.7138 -0.767 ]]
上面这个矩阵w就是所需的投影方向,只需要和原始数据组合,就可以得到降维结果
# 执行降维操作
X_lda = X.dot(W)
X_lda.shape
(150, 2)
可以看见数据维度从原始的(150,4)降到了(150,2),到此完成了降维的任务。
5、可视化展示
原始数据可视化展示
from matplotlib import pyplot as plt
# 可视化展示
def plot_step_lda():
ax = plt.subplot(111)
for label,marker,color in zip(
range(1,4),('^', 's', 'o'),('blue', 'red', 'green')):
plt.scatter(x=X[:,0].real[y == label],
y=X[:,1].real[y == label],
marker=marker,
color=color,
alpha=0.5,
label=label_dict[label]
)
plt.xlabel('X[0]')
plt.ylabel('X[1]')
leg = plt.legend(loc='upper right', fancybox=True)
leg.get_frame().set_alpha(0.5)
plt.title('Original data')
# 把边边角角隐藏起来
plt.tick_params(axis="both", which="both", bottom="off", top="off",
labelbottom="on", left="off", right="off", labelleft="on")
# 为了看的清晰些,尽量简洁
ax.spines["top"].set_visible(False)
ax.spines["right"].set_visible(False)
ax.spines["bottom"].set_visible(False)
ax.spines["left"].set_visible(False)
plt.grid()
plt.tight_layout
plt.show()
plot_step_lda()
降维后数据可视化展示
from matplotlib import pyplot as plt
# 可视化展示
def plot_step_lda():
ax = plt.subplot(111)
for label,marker,color in zip(
range(1,4),('^', 's', 'o'),('blue', 'red', 'green')):
plt.scatter(x=X_lda[:,0].real[y == label],
y=X_lda[:,1].real[y == label],
marker=marker,
color=color,
alpha=0.5,
label=label_dict[label]
)
plt.xlabel('LD1')
plt.ylabel('LD2')
leg = plt.legend(loc='upper right', fancybox=True)
leg.get_frame().set_alpha(0.5)
plt.title('LDA on iris')
# 把边边角角隐藏起来
plt.tick_params(axis="both", which="both", bottom="off", top="off",
labelbottom="on", left="off", right="off", labelleft="on")
# 为了看的清晰些,尽量简洁
ax.spines["top"].set_visible(False)
ax.spines["right"].set_visible(False)
ax.spines["bottom"].set_visible(False)
ax.spines["left"].set_visible(False)
plt.grid()
plt.tight_layout
plt.show()
plot_step_lda()
使用sklearn工具包中调用的线性判别分析降维
from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis as LDA
# LDA
sklearn_lda = LDA(n_components=2)
X_lda_sklearn = sklearn_lda.fit_transform(X, y)
def plot_scikit_lda(X, title):
ax = plt.subplot(111)
for label,marker,color in zip(
range(1,4),('^', 's', 'o'),('blue', 'red', 'green')):
plt.scatter(x=X[:,0][y == label],
y=X[:,1][y == label] * -1, # flip the figure
marker=marker,
color=color,
alpha=0.5,
label=label_dict[label])
plt.xlabel('LD1')
plt.ylabel('LD2')
leg = plt.legend(loc='upper right', fancybox=True)
leg.get_frame().set_alpha(0.5)
plt.title(title)
# hide axis ticks
plt.tick_params(axis="both", which="both", bottom="off", top="off",
labelbottom="on", left="off", right="off", labelleft="on")
# remove axis spines
ax.spines["top"].set_visible(False)
ax.spines["right"].set_visible(False)
ax.spines["bottom"].set_visible(False)
ax.spines["left"].set_visible(False)
plt.grid()
plt.tight_layout
plt.show()
plot_scikit_lda(X_lda_sklearn, title='Default LDA via scikit-learn')
可见,一步步计算得出的结果与使用sklearn工具包降维后的结果是一致的