集电2基础知识之信号与系统
- 一.拉普拉斯变换和反变换
- 二.单边拉普拉斯变换的性质
- 三.常用信号的单边拉普拉斯变换以及算法
- 四.极点与零点
- 五.拉普拉斯变换研究LTI系统的一般步骤
- 六.极点,零点及其分布与响应的关系
- 七.系统函数极点的分布与系统稳定性的关系
一.拉普拉斯变换和反变换
- 令(可以看做常数),可以得到对单边时域信号f(t)u(t),存在变换以及逆变换,称为拉普拉斯变换以及拉普拉斯逆变换,记做其中逆变换为s平面上的积分。
- 对于单边时域信号f(t)u(t),可知存在一个最小的使得对于任何比,均有。称这个数为收敛横标,上述式子成立的取值范围为收敛域。如果不指定收敛域,两个不同的时域信号可能对应同一个s域函数F(s)。
二.单边拉普拉斯变换的性质
以下设
- 线性性质(略)
- 尺度变换,对于a>0有:
- 时域平移,
- s域平移,
- 时域微分(联系系统初值和微分初值)
- 对于n+1阶系统,需考虑前n阶微分初值:
- s域微分:
- 时域积分*(只有时域微分和积分涉及初值)*
- 设(积分n次,每次的积分限都一样),则有:
- s域积分:
- 时域卷积:
- s域卷积:
- 初值定理(求非冲激响应的时域初值):若存在,则有:
- 终值定理(求非冲激响应的时域终值):若sF(s)在时存在,则有:
三.常用信号的单边拉普拉斯变换以及算法
- (直接算,或时域积分)
- (同上)
- (时域平移)
- (时域平移)
- (s域微分)
- (s域微分)
- (s域积分)
- 冲激采样序列(直接求和)
四.极点与零点
- 对于一般的F(s),使F(s)=0的点为零点,使F(s)=\infty的点位极点。
- 对于有理分式,分子多项式的零点称为零点(matlab图中表示为‘。’),分母多项式的零点称为极点(matlab图中表示为‘×’)。
- 如果出现复数零极点,则一定共轭出现。
- 象函数F(s)的收敛横标为s平面(即平面)上最右面(实部最大的那个)极点的实部。收敛域为
- 对于拉普拉斯逆变换的求法:
- 利用上述表格+一些拆分步骤计算。
- 如果是有理分式,可以使用分式展开法展开成数个最简有理分式之和,再逐个计算。
- 使用matlab函数:
syms s;
Fs= *** %填写s域象函数的表达式
ft= ilaplace(Fs)%直接计算,算出后的ft是符号变量t的函数
- 使用逆变换的定义和留数定理计算积分。
五.拉普拉斯变换研究LTI系统的一般步骤
- 列写描述一个n阶LTI系统的微分方程(响应为y(t),输入为f(t)):
- 寻找n-1个初值:
- 这里我们假设激励是在t=0时刻加入的,所以f(t)的各阶微分初值都不存在。若f(t)在t<0时已经加载,那么还要考虑这些微分初值。这里不再详述。下面假设的都是t=0时刻加入。
- 对两边同时取拉普拉斯变换,,令:(为上面方程的系数,为各阶微分初值)
可得=零状态响应的象函数+零输入响应的象函数
- 因为第一项只和激励f(t)以及系统本身的性质有关,第二项只和系统的各阶微分初值以及系统本身的性质有关。
- 得到上式后,对两边进行拉普拉斯逆变换,即可得到全响应和分响应。
- 本节下面的讨论都是基于LTI系统而言。
六.极点,零点及其分布与响应的关系
- 称为系统的传递函数(系统函数)【注意在这一步写出传递函数时不要急着消去分子分母共有的多项式】,其中的系数只和方程中的左右两边的系数相关,和输入f(t)与系统的各阶微分初值无关。是系统固有性质的体现。
- 称为系统的特征多项式,称为特征方程。其零点称为极点,相应的的零点称为零点。在matlab函数中可以画出极点和零点的图:
B=[1 -2 2 0];%输入分子的系数多项式,表示s^3-2*s^2+2*s,下略。
A=[1 2 5 8 4];%输入分母的多项式
zplane(B,A) %zplane函数通过接收分子和分母多项式,直接作出零点和极点在s平面上的图。
- 回想之前的零状态响应 (单位冲激响应和输入函数的时域卷积),两边同时取拉普拉斯变换,据时域卷积定理可得,与对比可立即得到,即**单位冲激响应h(t)和系统传递函数H(s)**为一对拉普拉斯变换对。
- 系统函数极点的分布与单位冲激响应的关系
设经过分式分解后,各个最简分式的极点可以分为(多重极点)和(一阶极点)。
- 若极点在左半s平面,无论极点的实复,冲激响应都是瞬态的(在无穷处降为0)
- 若为实极点,则为单调衰减函数
- 若为复极点,则为振荡衰减函数(经指数衰减调幅)
- 若极点在右半s平面,无论极点的实复,冲激响应都是会随着时间趋于无界的
- 若为实极点,则为单调上升函数
- 若为复极点,则为振荡上升函数(经指数上升调幅)
- 若极点在虚轴上:
- 对于高阶极点而言,无论实复,冲激响应都会随着时间增长趋于无界。
- 对于一阶极点而言,若为实极点(只有),则冲激响应为阶跃函数。若为虚极点,则冲激响应为不衰减的正弦信号。
- 系统函数H(s)与激励象函数F(s)极点分布与自由响应、强迫响应的关系
- 对于零输入响应,可以将其分解为“自由响应”和“强迫响应”。前者的函数形式只由H(s)的极点决定,后者的函数形式只由F(s)的极点确定。而两者的具体系数由和共同确定。
- 定义稳定系统的响应为“瞬态的”或为“稳态的”:若系统全响应中的某个部分,随t趋于无穷时该分量消失,则称为瞬态的。全响应减去瞬态响应分量称为稳态响应,当t趋于无穷时,不会消失也不会趋于无穷。
- 定义H(s)分母的零点为“特征频率”或“固有频率”。如果H(s)的某些极点恰为分子的零点,从而出现对消的情况,则这些固有频率可能会丢失。
- 当H(s)的极点在左半平面时:
- F(s)极点也在左半平面:系统的瞬态响应为自由响应+强迫响应,无稳态响应。
- F(s)的一阶极点在虚轴上:系统的瞬态响应为自由响应,稳态响应为强迫响应。
- F(s)为正弦信号的象函数:系统的瞬态响应为自由响应,稳态响应为强迫响应。
- 当H(s)的极点在虚轴上时,若F(s)的一阶极点也在虚轴上,则系统无瞬态响应,稳态响应为自由+强迫响应。
- 当H(s)的极点在右半s平面上时,系统为不稳定系统,无瞬态和稳态响应的定义。
七.系统函数极点的分布与系统稳定性的关系
一个系统,若对任意的有界输入,产生的输出都是有界的,那么可以称这个系统为有界输入-有界输出稳定系统,简称“稳定系统”。
- 冲激响应h(t)与系统稳定性的关系(时域判据):
系统稳定的充要条件:冲激响应满足:存在一个实数M,使得。即冲激响应对时域的全积分是有界的。 - 系统函数H(s)的极点分布与因果系统稳定性的关系(s域判据):
- 引理:当在区间上连续或者只有第一类间断点时,上述时域判据和等价。
- 若H(s)的极点全部在左半开平面,则满足上述引理,系统是稳定的。
- 若H(s)在虚轴上的极点只有一阶,即有一对共轭虚极点或一个单极点(0),其余极点全部在左半平面上,则当t趋于无穷时,h(t)趋于非零常数或者等幅振荡。称为临界稳定。
- 若H(s)存在右半平面上的极点或虚轴上具有二阶、二阶以上的极点,则当t趋于无穷时,|h(t)|必然趋于无穷,系统不稳定。
- 劳斯-赫尔维茨准则
对于低阶系统而言,求分母多项式的零点比较容易。用上面的s域判据可以方便的得出结果。但对于高阶系统而言,极点分布往往难以计算。特别是五阶以上的只能通过数值方法求解。
- 赫尔维茨多项式:设中。若A(s)所有的根都在s平面的左半开平面,则A(s)称为赫尔维茨多项式。其必要条件为:该多项式的系数对所有i都成立
- 即系数恒正且没有缺项,这可以作为直观判断的一个判据。若系数有负数或0(即缺项),则无需进行下面的劳斯阵列计算。
- 劳斯给出了用为基础构成的阵列来判断是否是赫尔维茨多项式的充要条件。这个阵列称为“劳斯阵列”。
- 先将如图第一、二列排列。若n为偶数,则第二行最后一列用0补齐。
- 第三列及以下的数据:两列两列的计算填写:其中任一位置的计算方式为:
其中,为该行上一行的第一列的数,和是该行上两行和上一行中,第一列的数。可知恒有。和是上两行和上一行中,该列右侧一列的数。
例:对于,有:;;
行 | 阶次 | 第1列 | 第2列 | 第3列 | …… |
1 | …… | ||||
2 | …… | ||||
3 | …… | ||||
4 | |||||
…… | …… | …… | …… | …… | …… |
n+1 | …… | …… | …… | …… |
充要判据:若第一列元素均为不等于0的正数,则A(s)为赫尔维茨不等式。若第一列元素符号不完全相同,则变号的次数为A(s)在右半平面根的数目。
- 由此可知,劳斯阵列并不一定需要完全计算完,只需要计算前两列就可以判断。