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集电2基础知识之信号与系统

• 一.拉普拉斯变换和反变换
• 二.单边拉普拉斯变换的性质
• 三.常用信号的单边拉普拉斯变换以及算法
• 四.极点与零点
• 五.拉普拉斯变换研究LTI系统的一般步骤
• 六.极点，零点及其分布与响应的关系
• 七.系统函数极点的分布与系统稳定性的关系

一.拉普拉斯变换和反变换

1. 令$s=\sigma +j\omega$（$\sigma$可以看做常数），可以得到对单边时域信号f(t)u(t),存在变换$F(s)=\int_{0-}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt$以及逆变换$f(t)=\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j*\infty}^{\sigma+j*\infty}F(s)e^{st}ds$，称为拉普拉斯变换以及拉普拉斯逆变换，记做$f(t)\leftrightarrow F(s)$其中逆变换为s平面上的积分。
2. 对于单边时域信号f(t)u(t),可知存在一个最小的$\sigma_{0}$使得对于任何比$\sigma>=\sigma_{0}$，均有$\int_{0-}^{+\infty}|f(t)e^{-\sigma t}|dt<+\infty$。称这个数为收敛横标，上述式子成立的$\sigma$取值范围为收敛域。如果不指定收敛域，两个不同的时域信号可能对应同一个s域函数F(s)。

二.单边拉普拉斯变换的性质

以下设$f(t)\leftrightarrow F(s)$

1. 线性性质（略）
2. 尺度变换，对于a>0有：$f(at)u(t)\leftrightarrow \frac{1}{a}F(\frac{s}{a})$
3. 时域平移，$f(t\pm t_{0})u(t\pm t_{0})\leftrightarrow F(s)e^{\pm st_{0}}$
4. s域平移,$f(t)u(t)e^{\pm s_{0}t}\leftrightarrow F(s\mp s_{0})$
5. 时域微分(联系系统初值和微分初值)

• $f^{\prime}(t)u(t)\leftrightarrow sF(s)-f(0-)$
• $f^{\prime\prime}(t)u(t)\leftrightarrow s^2F(s)-sf(0-)-f^{\prime}(0-)$
• 对于n+1阶系统，需考虑前n阶微分初值：$f^{n\prime}(t)u(t)\leftrightarrow s^nF(s)-\Sigma_{j=0}^{n-1}s^{n-j-1}f^{j\prime}(0-)$

6. s域微分:$-tf(t)u(t)\leftrightarrow \frac{d}{ds}F(s)$
7. 时域积分*（只有时域微分和积分涉及初值）*

• $\left[ \int_{-\infty}^{t}f(x)dx\right]u(t)\leftrightarrow \frac{F(s)}{s}+\frac{1}{s}\int_{-\infty}^{0-}f(t)dt$
• 设$f^{(-n)}(t)=\int...\int_{-\infty}^{t}f(x)dx$(积分n次，每次的积分限都一样),则有：$f^{(-n)}(t)u(t)\leftrightarrow \frac{1}{s^n}F(s)-\Sigma_{j=1}^{n}\frac{1}{s^{n-j+1}}f^{(-j)}(0-)$

8. s域积分:$\frac{1}{t}f(t)u(t)\leftrightarrow \int_{s}^{\infty}F(s_{1})ds_{1}$
9. 时域卷积:$f_{1}(t)u(t)\otimes f_{2}(t)u(t)\leftrightarrow F_{1}(s)F_{2}(s)$
10. s域卷积:$f_{1}(t)u(t)*f_{2}(t)u(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi j}F_{1}(s)\otimes F_{2}(s)$
11. 初值定理（求非冲激响应的时域初值）：若$lim_{s\rightarrow +\infty}sF(s)$存在，则有：$f(0+)=lim_{s\rightarrow +\infty}sF(s)$
12. 终值定理（求非冲激响应的时域终值）:若sF(s)在$s\rightarrow 0$时存在，则有：$lim_{t\rightarrow +\infty}f(t)=lim_{s\rightarrow 0}sF(s)$

三.常用信号的单边拉普拉斯变换以及算法

1. $\delta (t)\leftrightarrow 1$
2. $u(t)\leftrightarrow \frac{1}{s}$（直接算，或时域积分）
3. $\frac{t^{n}}{n!}u(t)\leftrightarrow \frac{1}{s^{n+1}}$
4. $e^{-at}u(t)\leftrightarrow \frac{1}{s+a}$
5. $\frac{t^n}{n!}e^{-at}u(t)\leftrightarrow \frac{1}{(s+a)^{n+1}}$
6. $\frac{u(t)}{\sqrt{\pi t} }\leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{s}}$
7. $sin(\omega t)u(t)\leftrightarrow \frac{\omega}{s^2+\omega^{2}}$
8. $cos(\omega t)u(t)\leftrightarrow \frac{s}{s^2+\omega^{2}}$（同上）
9. $e^{-at}sin(\omega t)u(t)\leftrightarrow \frac{\omega}{(s+a)^2+\omega^{2}}$（时域平移）
10. $e^{-at}cos(wt)u(t)\leftrightarrow \frac{s+a}{(s+a)^2+\omega^{2}}$（时域平移）
11. $tsin(wt)u(t)\leftrightarrow \frac{2\omega s}{(s^2+\omega^2)^2}$（s域微分）
12. $tcos(wt)u(t)\leftrightarrow \frac{s^2-\omega^2}{(s^2+\omega^2)^2}$（s域微分）
13. $\frac{sint}{t}u(t)\leftrightarrow arctan(\frac{1}{s})$（s域积分）
14. 冲激采样序列$\Sigma_{n=0}^{\infty}\delta(t-nT)\leftrightarrow \frac{1}{1-e^{-sT}}$（直接求和）

四.极点与零点

1. 对于一般的F(s)，使F(s)=0的点为零点，使F(s)=\infty的点位极点。
2. 对于有理分式$F(s)=\frac{B(s)}{A(s)}$，分子多项式的零点称为零点（matlab图中表示为‘。’），分母多项式的零点称为极点（matlab图中表示为‘×’）。
3. 如果出现复数零极点，则一定共轭出现。
4. 象函数F(s)的收敛横标为s平面(即$\sigma-\omega$平面）上最右面（实部最大的那个）极点的实部$\sigma_{0}$。收敛域为$\sigma>\sigma_{0}$
5. 对于拉普拉斯逆变换的求法：

1. 利用上述表格+一些拆分步骤计算。
2. 如果是有理分式，可以使用分式展开法展开成数个最简有理分式之和，再逐个计算。
3. 使用matlab函数：

syms s;
Fs= *** %填写s域象函数的表达式
ft= ilaplace(Fs)%直接计算，算出后的ft是符号变量t的函数

1. 使用逆变换的定义和留数定理计算积分。

五.拉普拉斯变换研究LTI系统的一般步骤

1. 列写描述一个n阶LTI系统的微分方程（响应为y(t),输入为f(t))：$\Sigma_{i=0}^{n}a_{i}y^{(i)}(t)=\Sigma_{j=0}^{m}b_{j}f^{i}(t)$
2. 寻找n-1个初值：$y(0-),y^{\prime}(0-)...y^{(n-1)}(0-)$

• 这里我们假设激励$f(t)$是在t=0时刻加入的，所以f(t)的各阶微分初值都不存在。若f(t)在t<0时已经加载，那么还要考虑这些微分初值。这里不再详述。下面假设的都是t=0时刻加入。

3. 对两边同时取拉普拉斯变换,$y(t)\leftrightarrow Y(s),f(t)\leftrightarrow F(s)$，令：($a_{i}、b_{i}$为上面方程的系数，$y^{(i)}(0-)$为各阶微分初值)

• $A(s)=\Sigma_{i=0}^{n}a_{i}s^{i}$
• $B(s)=\Sigma_{j=0}^{m}b_{j}s^{i}$
• $C(s)=\Sigma_{i=0}^{n}a_{i}\left[\Sigma_{k=1}^{i}s^{i-k}y^{(k-1)}(0-)\right]$

可得$Y(s)=\frac{B(s)}{A(s)}F(s)+\frac{C(s)}{A(s)}=Y_{f}(s)+Y_{x}(s)$=零状态响应的象函数+零输入响应的象函数

• 因为第一项只和激励f(t)以及系统本身的性质有关，第二项只和系统的各阶微分初值以及系统本身的性质有关。

1. 得到上式后，对两边进行拉普拉斯逆变换，即可得到全响应和分响应。
2. 本节下面的讨论都是基于LTI系统而言。

六.极点，零点及其分布与响应的关系

1. 称$H(s)=\frac{B(s)}{A(s)}$为系统的传递函数（系统函数）【注意在这一步写出传递函数时不要急着消去分子分母共有的多项式】，其中$B(s)，A(s)$的系数只和方程中的左右两边的系数相关，和输入f(t)与系统的各阶微分初值无关。是系统固有性质的体现。

• $A(s)$称为系统的特征多项式，$A(s)=0$称为特征方程。其零点称为极点，相应的$B(s)$的零点称为零点。在matlab函数中可以画出极点和零点的图：

B=[1 -2 2 0];%输入分子的系数多项式，表示s^3-2*s^2+2*s,下略。
A=[1 2 5 8 4];%输入分母的多项式
zplane(B,A) %zplane函数通过接收分子和分母多项式，直接作出零点和极点在s平面上的图。

• 回想之前的零状态响应$y_{f}(t)=h(t)\otimes f(t)$ (单位冲激响应和输入函数的时域卷积)，两边同时取拉普拉斯变换，据时域卷积定理可得$Y_{f}(s)=L[h(t)]*F(s)$，与$Y_{f}(t)=H(s)F(s)$对比可立即得到$h(t)\leftrightarrow H(s)$，即**单位冲激响应h(t)和系统传递函数H(s)**为一对拉普拉斯变换对。

1. 系统函数极点的分布与单位冲激响应的关系
   设$H(s)$经过分式分解后，各个最简分式的极点可以分为$s_{p}$(多重极点)和$s_{k}$(一阶极点)。

1. 若极点在左半s平面，无论极点的实复，冲激响应都是瞬态的（在无穷处降为0）

• 若为实极点，则为单调衰减函数
• 若为复极点，则为振荡衰减函数（经指数衰减调幅）

2. 若极点在右半s平面，无论极点的实复，冲激响应都是会随着时间趋于无界的

• 若为实极点，则为单调上升函数
• 若为复极点，则为振荡上升函数（经指数上升调幅）

3. 若极点在虚轴上：

• 对于高阶极点$s_{p}$而言，无论实复，冲激响应都会随着时间增长趋于无界。
• 对于一阶极点$s_{k}$而言，若为实极点（只有$s_{k}=0$），则冲激响应为阶跃函数。若为虚极点，则冲激响应为不衰减的正弦信号。

2. 系统函数H(s)与激励象函数F(s)极点分布与自由响应、强迫响应的关系

1. 对于零输入响应，可以将其分解为“自由响应”和“强迫响应”。前者的函数形式只由H(s)的极点决定，后者的函数形式只由F(s)的极点确定。而两者的具体系数由$H(s)$和$F(s)$共同确定。
2. 定义稳定系统的响应为“瞬态的”或为“稳态的”：若系统全响应中的某个部分，随t趋于无穷时该分量消失，则称为瞬态的。全响应减去瞬态响应分量称为稳态响应，当t趋于无穷时，不会消失也不会趋于无穷。
3. 定义H(s)分母的零点为“特征频率”或“固有频率”。如果H(s)的某些极点恰为分子的零点，从而出现对消的情况，则这些固有频率可能会丢失。
4. 当H(s)的极点在左半平面时：

• F(s)极点也在左半平面：系统的瞬态响应为自由响应+强迫响应，无稳态响应。
• F(s)的一阶极点在虚轴上：系统的瞬态响应为自由响应，稳态响应为强迫响应。
• F(s)为正弦信号的象函数：系统的瞬态响应为自由响应，稳态响应为强迫响应。

5. 当H(s)的极点在虚轴上时，若F(s)的一阶极点也在虚轴上，则系统无瞬态响应，稳态响应为自由+强迫响应。
6. 当H(s)的极点在右半s平面上时，系统为不稳定系统，无瞬态和稳态响应的定义。

七.系统函数极点的分布与系统稳定性的关系

一个系统，若对任意的有界输入，产生的输出都是有界的，那么可以称这个系统为有界输入-有界输出稳定系统，简称“稳定系统”。

1. 冲激响应h(t)与系统稳定性的关系（时域判据）：
   系统稳定的充要条件：冲激响应$h(t)$满足：存在一个实数M，使得$\int_{0-}^{+\infty}|h(t)|dt\le M$。即冲激响应对时域的全积分是有界的。
2. 系统函数H(s)的极点分布与因果系统稳定性的关系（s域判据）：

• 引理：当$h(t)$在$(0-,+\infty)$区间上连续或者只有第一类间断点时，上述时域判据和$lim_{t\rightarrow+\infty}|h(t)|=0$等价。
• 若H(s)的极点全部在左半开平面，则满足上述引理，系统是稳定的。
• 若H(s)在虚轴上的极点只有一阶，即有一对共轭虚极点或一个单极点（0），其余极点全部在左半平面上，则当t趋于无穷时，h(t)趋于非零常数或者等幅振荡。称为临界稳定。
• 若H(s)存在右半平面上的极点或虚轴上具有二阶、二阶以上的极点，则当t趋于无穷时，|h(t)|必然趋于无穷，系统不稳定。

3. 劳斯-赫尔维茨准则
   对于低阶系统而言，求分母多项式的零点比较容易。用上面的s域判据可以方便的得出结果。但对于高阶系统而言，极点分布往往难以计算。特别是五阶以上的只能通过数值方法求解。

1. 赫尔维茨多项式：设$H(s)=\frac{B(s)}{A(s)}$中$A(s)=\Sigma_{i=0}^{n}a_{i}s^{i}$。若A(s)所有的根都在s平面的左半开平面，则A(s)称为赫尔维茨多项式。其必要条件为：该多项式的系数$a_{i}>0$对所有i都成立

• 即系数恒正且没有缺项，这可以作为直观判断的一个判据。若系数有负数或0（即缺项），则无需进行下面的劳斯阵列计算。

2. 劳斯给出了用$a_{i}$为基础构成的阵列来判断是否是赫尔维茨多项式的充要条件。这个阵列称为“劳斯阵列”。

• 先将$a_{n}$如图第一、二列排列。若n为偶数，则第二行最后一列用0补齐。
• 第三列及以下的数据：两列两列的计算填写：其中任一位置$x_{i}$的计算方式为:
  $x_{i}=\frac{-1}{P} \left|\begin{array}{cccc} A_{1} & B_{1} \\ A_{2} & B_{2} \\ \end{array}\right|$

其中，$P$为该行上一行的第一列的数，$A_{1}$和$A_{2}$是该行上两行和上一行中，第一列的数。可知恒有$A_{2}=P$。$B_{1}$和$B_{2}$是上两行和上一行中，该列右侧一列的数。

例：对于$x_{i}=d_{n-3}$，有：$P=c_{n-1}$；$A_{1},A_{2}=a_{n-1},c_{n-1}$；$B_{1},B_{2}=a_{n-5},c_{n-5}$

行	阶次	第1列	第2列	第3列	……
1					……
2					……
3					……
4
……	……	……	……	……	……
n+1		……	……	……	……

充要判据：若第一列元素均为不等于0的正数，则A(s)为赫尔维茨不等式。若第一列元素符号不完全相同，则变号的次数为A(s)在右半平面根的数目。

• 由此可知，劳斯阵列并不一定需要完全计算完，只需要计算前两列就可以判断。