Python pytorch 共轭梯度法 python求复共轭

目录

• 基本概念

• 复数
• 傅里叶级数
• 冲激函数及其取样（筛选）性质
• 连续单变量函数的傅里叶变换
• 卷积

基本概念

复数

复数$C$的定义为

$C = R + jI \tag{4.3}$

$R,I$为实数，$R$是实部，$I$是虚部，$j = \sqrt{-1}$。复数的共轭表示为$C^*$

$C^* = R - jI \tag{4.4}$

从几何角度来看，复数可视为平面（称为复平面）上的一个点，其横坐标是实轴，纵坐标是虚轴，也就是说$R+jI$是得平面直角坐标系中的点$(R,I)$

极坐标表示复数

$C = |C|(\text{cos}\theta + \text{jsin}\theta) \tag{4.5}$
$|C|=\sqrt{R^2 + I^2}$是从复平面的原点延伸到点$(R,I)$的向量长度，$\theta$是该向量与实轴的夹角。

使用欧拉公式
$e^{j\theta} = \text{cos}\theta + \text{jsin}\theta \tag{4.6}$

可以给坐极坐标的复数表示为
$C = |C|e^{j\theta} \tag{4.7}$

复函数：
$F(u) = R(u) + jI(u)$
$F^*(u) = R(u) - jI(u)$
幅值是
$|F(u)| = \sqrt{R(u)^2 + I(u)^2}$

a = np.complex(1 + 2j)

radian = np.arctan2(a.imag, a.real)
radian

1.1071487177940904

degree = np.rad2deg(radian)
degree

63.43494882292201

傅里叶级数

周期为$T$的连续变量$t$的周期函数$f(t)$，可表示为乘以适当系数的正弦函数和余弦函数之和
$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{j\frac{2\pi n}{T}t} \tag{4.8}$

$c_n = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(t)e^{-j\frac{2\pi n}{T}t} \tag{4.9}$

冲激函数及其取样（筛选）性质

连续变量$t$在$t=0$处的单位冲激表示为$\delta(t)$，定义是
$\delta(t) =\begin{cases} \infty, & t=0 \\ 0, & t \neq 0 \end{cases} \tag{4.10}$
它被限制为满足恒等式
$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt= 1 \tag{4.11}$

自然地，将$t$解释为时间时，冲激就可视为幅度无限、持续时间为0、具有单位面积的尖峰信息。冲激具有关于积分的所谓取样性质

$\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t)dt= f(0) \tag{4.12}$

冲激
冲激并不是通常意义上的函数，更准确的名称是分布或广义函数。

任意一点$t_0$的取样性质为：
$\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t - t_0)dt= f(t_0) \tag{4.13}$

例如： 若$f(t) = \text{cos}(t)$，则使用冲激$\delta(t-\pi)$得到结果$f(\pi) = cos(\pi)=-1$

冲激串KaTeX parse error: \tag works only in display equations

离散冲激定义为
$\delta(x) = \begin{cases} 1, & x = 0 \\0, & x \neq 0 \end{cases} \tag{4.15}$
$\sum_{-\infty}^{\infty}\delta(x)= 1 \tag{4.16}$
$\sum_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x)= f(0) \tag{4.17}$
$\sum_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x - x_0)dt= f(x_0) \tag{4.18}$

def impulse(x, x0):
    return np.piecewise(x, [x==x0, x!=x0], [1, 0])

# 按定义写的，不知道是否正确，如不正确，请指出，感谢，只做展示
x = np.arange(10)
plt.stem(x, impulse(x, 5), )
plt.show()

def impulse_serial(x):
    s = np.ones_like(x)
    return s

# 只做展示
x = np.arange(10)
plt.stem(impulse_serial(x))
plt.show()

连续单变量函数的傅里叶变换

傅里叶变换对

连续变量$t$的连续函数$f(t)$的傅里叶变换由$\mathfrak{J}\{f(t)\}$表示，定义为
$\mathfrak{J}\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j2\pi\mu t}dt \tag{4.19}$
$\mathfrak{J}\{f(t)\} = F(\mu)$
所以有
$F(\mu) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j2\pi\mu t}dt \tag{4.20}$
反变换：
$f(t) = \int_{-\infty}^{\infty} F(\mu) e^{-j2\pi\mu t}d\mu \tag{4.21}$

通常表示为$f(t) \Leftrightarrow F(\mu)$

使用欧拉公式，可以写为
$F(\mu) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) [\text{cos}(2\pi \mu t) - \text{jsin}(2\pi \mu t)]dt \tag{4.22}$

傅里叶变换是$f(t)$乘以正弦函数的展开式， 其中正弦函数的频率是由$\mu$值决定。因此积分后留下的唯一变量是频率，因此，我们说傅里叶变换域是频率域。

盒式函数的傅里叶变换

$\begin{aligned} F(\mu) & = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j2\pi\mu t}dt = \int_{-W/2}^{W/2} f(t) A e^{-j2\pi\mu t}dt\\ & = \frac{-A}{j2\pi\mu}[e^{-j2\pi\mu t}]_{-W/2}^{W/2} = \frac{-A}{j2\pi\mu}[e^{-j\pi\mu W} - e^{j\pi\mu W}]\\ & = \frac{A}{j2\pi\mu}[e^{j\pi\mu W} - e^{-j\pi\mu W}] \\ & = AW \frac{sin(\pi \mu W)}{(\pi \mu W)} \\ \end{aligned}$

最后的结果是$\text{sinc}$函数
$\text{sinc}(m) = \frac{\text{sin}(\pi m)}{(\pi m)} \tag{4.23}$

通常傅里叶变换中包含复数项，这是为了显示变换的幅值（一个实量）的约定。这个幅值称为傅里叶频谱或频谱：
$|F(\mu)| = AW \bigg|\frac{sin(\pi \mu W)}{(\pi \mu W)}\bigg|$

def box_function(x, w):
    w_2 = w / 2
    y = np.where(x, x > -w_2, 0)
    y = np.where(x < w_2, y, 0)
    return y

import mpl_toolkits.axisartist as axisartist
def setup_axes(fig, rect):
    ax = axisartist.SubplotZero(fig, rect)
    fig.add_axes(ax)
    
    for direction in ["xzero", "yzero"]:
        # adds arrows at the ends of each axis
        ax.axis[direction].set_axisline_style("-|>")

        # adds X and Y-axis from the origin
        ax.axis[direction].set_visible(True)

    for direction in ["left", "right", "bottom", "top"]:
        # hides borders
        ax.axis[direction].set_visible(False)
    
    return ax

# 盒式函数的傅里叶变换
x = np.arange(-5, 5, 0.1)
y = box_function(x, 6)

fig = plt.figure(figsize=(15, 5))
ax_1 = setup_axes(fig, 131)
ax_1.plot(x, y), ax_1.set_title('f(t)', loc='center', y=1.05), ax_1.set_ylim([0, 2]), ax_1.set_yticks([])

f_u = np.sinc(x)
ax_2 = setup_axes(fig, 132)
ax_2.plot(x, f_u), ax_2.set_title('F(u)', loc='center', y=1.05), ax_2.set_yticks([]), #ax_2.set_ylim([-1, 2]),

f_u_absolute = abs(f_u)
ax_3 = setup_axes(fig, 133)
ax_3.plot(x, f_u_absolute), ax_3.set_title('|F(u)|', loc='center', y=1.05), ax_3.set_yticks([]), #ax_3.set_ylim([-1, 2]),

plt.tight_layout()
plt.show()

冲激和冲激串的傅里叶变换

$\begin{aligned} \mathfrak{J}\{\delta(t)\} & = F(\mu) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{-j2\pi\mu t}dt \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi\mu t} \delta(t)dt \\ & = e^{-j2\pi\mu_0} \\ & = e^0 = 1 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \mathfrak{J}\{\delta(t - t_0)\} & = F(\mu) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t - t_0) e^{-j2\pi\mu t}dt \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j2\pi\mu t} \delta(t - t_0)dt \\ & = e^{-j2\pi\mu t_0} \\ \end{aligned}$

冲激串的傅里叶变换

$\begin{aligned} S(\mu) & = \mathfrak{J}\{S_{\Delta T}(t)\} = \mathfrak{J}\{\frac{1}{\Delta } \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{j\frac{2\pi n}{\Delta T}t}\} \\ & = \frac{1}{\Delta T} \mathfrak{J}\{\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{j\frac{2\pi n}{\Delta T}t}\} \\ & = \frac{1}{\Delta T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(\mu - \frac{n}{\Delta T}) \\ \end{aligned}$

卷积

$(f\star h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) h(t - \tau) d\tau \tag{4.24}$

$\begin{aligned} \mathfrak{J}\{(f \star h)(t) \} & = \int_{-\infty}^{\infty} \bigg[\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) h(t - \tau) d\tau \bigg] e^{-j2\pi \mu t} dt\\ & = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \bigg[\int_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) e^{-j2\pi \mu t} dt\bigg] d\tau \\ & = H(\mu) \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^{-j2\pi \mu \tau} d\tau \\ & = H(\mu)F(\mu) = (H \bullet F)(\mu) \end{aligned}$

• 傅里叶正变换
  $(f\star h)(t) \Leftrightarrow (H \bullet F)(\mu) \tag{4.25}$
• 傅里叶反变换
  $(f\bullet h)(t) \Leftrightarrow (H \star F)(\mu) \tag{4.26}$